Seja A B C D o retângulo com vértices A=(1,2,3), B=(3,6,-2) e C=(0,5,-4), determine o vértice D.

Passo 1

O enunciado dá um retângulo ABCD em \mathbb{R}^3 com
A=(1,2,3),\quad B=(3,6,-2),\quad C=(0,5,-4)
e pede o vértice D. Vamos usar geometria vetorial: num retângulo os lados adjacentes são perpendiculares e o quadrilátero é um paralelogramo.

Passo 2

Calculemos os vetores que saem de B para A e para C:
\overrightarrow{BA}=A-B=(1-3,\,2-6,\,3-(-2))=(-2,\,-4,\,5),
\overrightarrow{BC}=C-B=(0-3,\,5-6,\,-4-(-2))=(-3,\,-1,\,-2).
O produto escalar é
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} =(-2)(-3)+(-4)(-1)+5(-2)=6+4-10=0,
confirmando que o ângulo em B é reto.

Passo 3

Como ABCD é paralelogramo, as diagonais têm mesmo ponto médio. Em termos de vetores posição isso dá
A + C = B + D.
Isolando D,
D = A + C - B.

Passo 4

Substituindo as coordenadas:
D=(1,2,3)+(0,5,-4)-(3,6,-2) = (1+0-3,\;2+5-6,\;3-4+2) = (-2,\,1,\,1).

Resposta

D = (-2,1,1).

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