Para cada caso, mostre que v é um autovetor de A e determine o autovalor correspondente.
(a) A=\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 1 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 0 & 4\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]
(b) A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & 2\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar que v é um autovetor da matriz A em cada caso e determinar o autovalor \lambda correspondente, isto é, encontrar \lambda tal que
A\,v = \lambda\,v.
O conteúdo é autovetores e autovalores; para mostrar que v é autovetor, basta calcular o produto matriz–vetor e identificar o escalar \lambda.

Passo 2

Pela definição de autovetor e autovalor, um vetor não nulo v é autovetor de A se existe \lambda\in\mathbb{R} com
A\,v = \lambda\,v.
Logo, para cada caso calculamos A\,v e verificamos se é um múltiplo de v.

Passo 3

Caso (a):
A = \begin{pmatrix}4 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 3 & 2 \\[4pt] 1 & 0 & 4\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}1 \\[2pt] 2 \\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Calculando
A\,v = \begin{pmatrix} 4\cdot1 + 0\cdot2 + 1\cdot1 \\[4pt] 2\cdot1 + 3\cdot2 + 2\cdot1 \\[4pt] 1\cdot1 + 0\cdot2 + 4\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\[2pt] 10 \\[2pt] 5\end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix}1 \\[2pt] 2 \\[2pt] 1\end{pmatrix} = 5\,v.
Portanto em (a) \lambda=5.]

Passo 4

Caso (b):
A = \begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\[4pt] -1 & 2 & -1 \\[4pt] -1 & -1 & 2\end{pmatrix},\quad v = \begin{pmatrix}1 \\[2pt] 1 \\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Calculando
A\,v = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot1 \\[4pt] (-1)\cdot1 + 2\cdot1 + (-1)\cdot1 \\[4pt] (-1)\cdot1 + (-1)\cdot1 + 2\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\[2pt] 0 \\[2pt] 0\end{pmatrix} = 0 \begin{pmatrix}1 \\[2pt] 1 \\[2pt] 1\end{pmatrix} = 0\,v.
Portanto em (b) \lambda=0.]

Resposta

(a) \lambda=5
(b) \lambda=0

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