Para cada caso, mostre que v é um autovetor de A e determine o autovalor correspondente.
(a) A=\left[\begin{array}{lll}4 & 0 & 1 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 0 & 4\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]
(b) A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ -1 & -1 & 2\end{array}\right] e v=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar que v é um autovetor da matriz A em cada caso e determinar o autovalor \lambda correspondente, isto é, encontrar \lambda tal que
A\,v = \lambda\,v.
O conteúdo é autovetores e autovalores; para mostrar que v é autovetor, basta calcular o produto matriz–vetor e identificar o escalar \lambda.
Passo 2
Pela definição de autovetor e autovalor, um vetor não nulo v é autovetor de A se existe \lambda\in\mathbb{R} com
A\,v = \lambda\,v.
Logo, para cada caso calculamos A\,v e verificamos se é um múltiplo de v.