Considere um espaço amostral
Omega=(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)
tal que P(omegai)=19 para todo i=1, ldots, 9. Defina então uma v.a. discreta X: Omega D por
X(omegai):=omegai 1+omegai 2
onde omegai 1 e omegai 2 denotam, respectivamente, o primeiro e o segundo elemento de cada omegai:=(omegai 1, omegai 2), i=1, ldots, 9.
a. Encontre D e calcule P(X=k) para cada k in D.
b. Calcule FX(x):=P(X <= x) para todo x in R.
c. Calcule E(X).
d. Calcule var(X).

Passo 1

O enunciado define um espaço amostral
Omega=(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)
com probabilidade uniforme P(omegai)=1/9, e a variável aleatória discreta X é a soma dos dois componentes de omegai. Vamos achar o suporte D, as probabilidades P(X=k), a função de distribuição acumulada FX, e depois E(X) e var(X).

Passo 2

Para encontrar D e P(X=k) basta listar todas as somas possíveis x=omegai1+omegai2:
omegai1,omegai2in-1,0,1. Os valores são
-2,-1,0,1,2. Contando quantas vezes cada valor aparece em Omega e lembrando que cada ponto tem probabilidade 1/9, obtemos
P(X=-2)=19, P(X=-1)=29, P(X=0)=39, P(X=1)=29, P(X=2)=19

Passo 3

Agora construímos FX(x)=P(X<= x) por intervalos de x:
Se x< -2, então FX(x)=0.
Se -2<= x< -1, então
FX(x)=P(X=-2)=tfrac19
Se -1<= x<0, então
FX(x)=P(X=-2)+P(X=-1)=tfrac19+tfrac29=tfrac39=tfrac13
Se 0<= x<1, então
FX(x)=tfrac13+P(X=0)=tfrac13+tfrac39=tfrac69=tfrac23
Se 1<= x<2, então
FX(x)=tfrac23+P(X=1)=tfrac23+tfrac29=tfrac89
Se x>=2, então FX(x)=1.

Passo 4

Para E(X) usamos
E(X)=sumkin Dk,P(X=k) =(-2)tfrac19+(-1)tfrac29+0cdottfrac39+1cdottfrac29+2cdottfrac19 =-2-2+0+2+29=0

Passo 5

Para var(X) calculamos primeiro
E(X^2) =(-2)^2tfrac19+(-1)^2tfrac29+0^2tfrac39+1^2tfrac29+2^2tfrac19 =4+2+0+2+49=129=43
Como E(X)=0,
var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=tfrac43-0=tfrac43

Resposta

a) D=-2,-1,0,1,2, com
P(X=-2)=tfrac19,;P(X=-1)=tfrac29,;P(X=0)=tfrac39,;P(X=1)=tfrac29,;P(X=2)=tfrac19
b)
Se x< -2, FX(x)=0.
Se -2<= x< -1, FX(x)=tfrac19.
Se -1<= x<0, FX(x)=tfrac13.
Se 0<= x<1, FX(x)=tfrac23.
Se 1<= x<2, FX(x)=tfrac89.
Se x>=2, FX(x)=1.
c) E(X)=0.
d) var(X)=tfrac43

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