Seja X: Omega D uma v.a. discreta tal que D=-1,0,1,2, e
P(X=-1)=510, P(X=0)=C, P(X=1)=110, P(X=2)=210.
a. Encontre o valor de C.
b. Calcule FX(x):=P(X <= x) para todo x in R.
c. Calcule E(X).
d. Calcule var(X).

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X com suporte D=-1,0,1,2 e probabilidades
P(X=-1)=tfrac510, P(X=0)=C, P(X=1)=tfrac110, P(X=2)=tfrac210.
Pede-se:
– (a) usar a soma das probabilidades igual a 1 para achar C.
– (b) montar a função de distribuição acumulada FX(x)=P(X<= x).
– (c) calcular a esperança E(X).
– (d) calcular a variância Var(X).

Passo 2

Para (a) aplicamos a normalização
sumxin DP(X=x)=1
ou seja
tfrac510+C+tfrac110+tfrac210=1
implies C=1-tfrac810=tfrac210

Passo 3

Para (b) usamos a definição
e consideramos os intervalos relativos aos pontos de massa:
Se , então .\n
Se , então , então , então , então )

Passo 4

Para (c) usamos
E(X)=sumxin Dx,P(X=x)
Logo
E(X)=(-1)cdottfrac510+0cdottfrac210+1cdottfrac110+2cdottfrac210 =-tfrac510+0+tfrac110+tfrac410=0

Passo 5

Para (d) calculamos primeiro
E(X^2)=sumxin Dx^2,P(X=x) =1cdottfrac510+0cdottfrac210+1cdottfrac110+4cdottfrac210 =tfrac510+tfrac110+tfrac810=tfrac1410
Como E(X)=0, segue
Var(X)=E(X^2)-l[E(X)r]^2 =tfrac1410-0=tfrac75

Resposta

(a) [C=\tfrac{2}{10}.)
(b) Para todo ,
(c) (\mathbb{E}(X)=0.]
(d)

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