Suponha que em um contexto de apostas esportivas estejamos analisando os possíveis resultados e ganhos correspondentes à um jogo específico entre 2 times: o grande Clube Atlético Mineiro (também conhecido popularmente apenas como “Galo”, devido ao seu mascote) e um time paraguaio, denominado Club Olimpia. Apostando um certo valor fixo no favoritismo do Galo, nossa perda é de
100,00
5 %
R $20,00$ caso os times
empatem (o que ocorre com probabilidade igual a 15%) e de
10,00
80 %$ ).
a. Calcule o ganho esperado associado à cada um dos possíveis resultados do jogo.
b. Defina uma v.a. discreta
tomando valores iguais aos ganhos associados a cada um dos resultados, encontre
e calcule
para cada
.
c. Com base na v.a.
definida no item anterior, calcule
. O que esse valor te diz? Interprete.
d. Calcule var
. Como você utilizaria essa informação? Comente.
empatem (o que ocorre com probabilidade igual a 15%) e de
a. Calcule o ganho esperado associado à cada um dos possíveis resultados do jogo.
b. Defina uma v.a. discreta
c. Com base na v.a.
d. Calcule var
Passo 1
O enunciado apresenta um jogo com três resultados possíveis para o Galo: derrota, empate e vitória, cujos ganhos são respectivamente
,
e
reais, e cujas probabilidades são
,
e
. O conteúdo aqui é a esperança e a variância de uma variável aleatória discreta, usando as definições
Passo 2
Para cada resultado, calculamos a contribuição à esperança multiplicando o ganho pela probabilidade:
Para a derrota: ganho
, probabilidade
, logo
Para o empate: ganho
, probabilidade
, logo
Para a vitória: ganho
, probabilidade
, logo
Passo 3
Definimos a variável aleatória discreta
que associa a cada resultado seu ganho. O suporte é
e as probabilidades são
Passo 4
A esperança de
é a soma das contribuições do passo anterior:
Esse valor indica que, em média, espera-se ganhar
por aposta.
Passo 5
A variância de
mede a dispersão dos ganhos em torno da média. Calculamos
Cada termo é
portanto
Isso mostra o risco da aposta: quanto maior a variância, maior a incerteza dos ganhos. Serve para avaliar a volatilidade do retorno.
Resposta
a) Contribuições à esperança:
,
e
.
b) ,
,
,
.
c) , ou seja, ganho médio de
por jogo.
d) , usado para medir a variabilidade (risco) dos ganhos.
b)
c)
d)