Suponha que em um contexto de apostas esportivas estejamos analisando os possíveis resultados e ganhos correspondentes à um jogo específico entre 2 times: o grande Clube Atlético Mineiro (também conhecido popularmente apenas como “Galo”, devido ao seu mascote) e um time paraguaio, denominado Club Olimpia. Apostando um certo valor fixo no favoritismo do Galo, nossa perda é de 100,00 5 % ãR $20,00$ caso os times
empatem (o que ocorre com probabilidade igual a 15%) e de 10,00 80 %$ ).
a. Calcule o ganho esperado associado à cada um dos possíveis resultados do jogo.
b. Defina uma v.a. discreta tomando valores iguais aos ganhos associados a cada um dos resultados, encontre e calcule para cada .
c. Com base na v.a. definida no item anterior, calcule . O que esse valor te diz? Interprete.
d. Calcule var . Como você utilizaria essa informação? Comente.

Passo 1

O enunciado apresenta um jogo com três resultados possíveis para o Galo: derrota, empate e vitória, cujos ganhos são respectivamente -100, 20 e 10 reais, e cujas probabilidades são 0,05, 0,15 e 0,80. O conteúdo aqui é a esperança e a variância de uma variável aleatória discreta, usando as definições
E(X)=sumkk,P(X=k), Var(X)=sumk(k-E(X))^2,P(X=k)

Passo 2

Para cada resultado, calculamos a contribuição à esperança multiplicando o ganho pela probabilidade:
Para a derrota: ganho -100, probabilidade 0,05, logo
-100 times 0,05 = -5
Para o empate: ganho 20, probabilidade 0,15, logo
20 times 0,15 = 3
Para a vitória: ganho 10, probabilidade 0,80, logo
10 times 0,80 = 8

Passo 3

Definimos a variável aleatória discreta X que associa a cada resultado seu ganho. O suporte é
D = -100,,20,,10
e as probabilidades são
P(X=-100)=0,05, P(X=20)=0,15, P(X=10)=0,80

Passo 4

A esperança de X é a soma das contribuições do passo anterior:
E(X) = -5 + 3 + 8 = 6
Esse valor indica que, em média, espera-se ganhar R$6,00 por aposta.

Passo 5

A variância de X mede a dispersão dos ganhos em torno da média. Calculamos
Var(X) =sumkin D(k-6)^2,P(X=k) = (-100-6)^2cdot0,05 + (20-6)^2cdot0,15 + (10-6)^2cdot0,80
Cada termo é
(-106)^2cdot0,05 =11236cdot0,05=561,8, 14^2cdot0,15=196cdot0,15=29,4, 4^2cdot0,80=16cdot0,80=12,8,
portanto
Var(X)=561,8+29,4+12,8=604
Isso mostra o risco da aposta: quanto maior a variância, maior a incerteza dos ganhos. Serve para avaliar a volatilidade do retorno.

Resposta

a) Contribuições à esperança: -5, 3 e 8.
b) D=-100,,20,,10,
P(X=-100)=0,05, P(X=20)=0,15, P(X=10)=0,80.
c) E(X)=6, ou seja, ganho médio de R$6,00 por jogo.
d) Var(X)=604, usado para medir a variabilidade (risco) dos ganhos.

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