Considere o espaço amostral a seguir:
\mathrm{S}={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22}
E os eventos: A={0,2,6,8,10} \quad B={8,10,12,16,18,20,22} \quad C={8,16,18,20}
Calcule:
P(A \cup B)

Passo 1

O enunciado dá o espaço amostral e três eventos e pede o valor de P(A\cup B).
Dados fornecidos:
S=\{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22\}
A=\{0,2,6,8,10\}
B=\{8,10,12,16,18,20,22\}
Pergunta: calcular P(A\cup B).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicação didática): quando o espaço amostral é finito e todos os resultados são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento E é dada por
P(E)=\frac{|E|}{|S|}
onde |E| é o número de elementos do evento E (cardinalidade de E) e |S| é o número de elementos de S. Aqui cada elemento de S tem a mesma chance.
Outra fórmula útil (princípio da inclusão-exclusão para dois eventos) é
|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.
Explico: somamos os elementos de A e de B mas subtraímos os que estão em ambos (que foram contados duas vezes).

Passo 3

Calculemos |S|. Contando os elementos de S (listados no enunciado):
|S|=12.
Portanto qualquer probabilidade será da forma \frac{\text{número de elementos favoráveis}}{12}úá.

Passo 4

Calculemos |A| e |B| contando os elementos dados:
|A|=5 \quad\text{(os elementos são }0,2,6,8,10\text{)}ã
|B|=7 \quad\text{(os elementos são }8,10,12,16,18,20,22\text{)}ã

Passo 5

Encontrar A\cap B: são os elementos que aparecem em ambos A e B. Comparando as listas vemos que os elementos comuns são 8 e 10. Logo
A\cap B=\{8,10\}
e
|A\cap B|=2.

Passo 6

Agora aplicamos inclusão-exclusão para obter |A\cup B|:
|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=5+7-2=10.

Passo 7

Finalmente calculamos a probabilidade usando P(E)=\dfrac{|E|}{|S|}:
P(A\cup B)=\frac{|A\cup B|}{|S|}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\approx 0,8333.

Resposta

\displaystyle P(A\cup B)=\frac{5}{6}

Exercícios relacionados