Uma pesquisa foi feita em uma turma de engenharia com 30 alunos, o resultado foi o seguinte:
- 18 foram aprovados em cálculo
- 10 foram aprovados em física
- 5 foram aprovados nas duas disciplinas.
a) Elabore o Diagrama de Venn para essa situação;
b) Determine a probabilidade de se escolher um aluno que foi aprovado em cálculo ou em física.
c) Qual a probabilidade de se escolher um aluno aprovado somente em cálculo?
d) E a probabilidade se escolher um aluno reprovado?
a) Elabore o Diagrama de Venn para essa situação;
b) Determine a probabilidade de se escolher um aluno que foi aprovado em cálculo ou em física.
c) Qual a probabilidade de se escolher um aluno aprovado somente em cálculo?
d) E a probabilidade se escolher um aluno reprovado?
Passo 1
O enunciado dá uma turma com
alunos e as seguintes informações:
-
foram aprovados em cálculo. -
foram aprovados em física. -
foram aprovados nas duas disciplinas.
As perguntas são:
a) Elaborar o Diagrama de Venn para essa situação;
b) Determinar a probabilidade de escolher um aluno que foi aprovado em cálculo ou em física;
c) Determinar a probabilidade de escolher um aluno aprovado somente em cálculo;
d) Determinar a probabilidade de escolher um aluno reprovado (não aprovado em nenhuma das duas).
a) Elaborar o Diagrama de Venn para essa situação;
b) Determinar a probabilidade de escolher um aluno que foi aprovado em cálculo ou em física;
c) Determinar a probabilidade de escolher um aluno aprovado somente em cálculo;
d) Determinar a probabilidade de escolher um aluno reprovado (não aprovado em nenhuma das duas).
Passo 2
Vamos interpretar as informações em termos de conjuntos e contar quantos alunos ficam em cada região do diagrama de Venn (duas circunferências que se sobrepõem):
Definimos:
-
= conjunto dos aprovados em cálculo, com . -
= conjunto dos aprovados em física, com . -
é o número de alunos aprovados em ambas.
No diagrama de Venn com duas circunferências (uma para
e outra para
), há quatro regiões:
- “Apenas cálculo” = elementos em
que não estão em . O tamanho dessa região é . - “Apenas física” = elementos em
que não estão em . O tamanho dessa região é . - “Ambas” =
(região de interseção). - “Nenhuma” = alunos que não estão nem em
nem em ; calculamos subtraindo do total os que aparecem nas três regiões anteriores.
Agora calculamos cada uma dessas quantidades passo a passo.
Passo 3
Calcular “apenas cálculo”:
Calcular “apenas física”:
A interseção (ambas) já foi dada:
Calcular “nenhuma” (reprovados em ambas):
Esses números são os que você colocaria no Diagrama de Venn: círculo
: região interior dividida em
(apenas
) e
(interseção); círculo
: região interior dividida em
(apenas
) e
(interseção); fora dos círculos:
.
Passo 4
Agora probabilidades. Lembre que, quando todos os alunos têm a mesma chance de serem escolhidos, a probabilidade de um evento é
Aqui o número total é
.
b) Probabilidade de escolher um aluno aprovado em cálculo ou em física = probabilidade de
. Use a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão):
Substituindo:
Portanto
Passo 5
c) Probabilidade de escolher um aluno aprovado somente em cálculo = número “apenas cálculo” dividido pelo total:
Passo 6
d) Probabilidade de escolher um aluno reprovado (não aprovado em nenhuma das duas) = número “nenhuma” dividido pelo total:
(Faça uma checagem rápida:
, soma perfeita — as regiões cobrem todos os alunos.)
Resposta
a) Diagrama de Venn: apenas cálculo
; apenas física
; ambas
; nenhuma
.
b) .
c) .
d) .
b)
c)
d)