(2,0) Uma pesquisa foi feita em uma turma de engenharia com 30 alunos, o resultado foi o seguinte:
  • 18 foram aprovados em cálculo
  • 10 foram aprovados em física
  • 5 foram aprovados nas duas disciplinas.
    a) Elabore o Diagrama de Venn para essa situação;
    b) Determine a probabilidade de se escolher um aluno que foi aprovado em cálculo ou em física.
    c) Qual a probabilidade de se escolher um aluno aprovado somente em cálculo?
    d) E a probabilidade se escolher um aluno reprovado?

Passo 1

O enunciado dá uma turma com 30 alunos e as seguintes informações:
  • 18 foram aprovados em cálculo.
  • 10 foram aprovados em física.
  • 5 foram aprovados nas duas disciplinas.
As perguntas são:
a) Elaborar o Diagrama de Venn para essa situação;
b) Determinar a probabilidade de escolher um aluno que foi aprovado em cálculo ou em física;
c) Determinar a probabilidade de escolher um aluno aprovado somente em cálculo;
d) Determinar a probabilidade de escolher um aluno reprovado (não aprovado em nenhuma das duas).

Passo 2

Vamos interpretar as informações em termos de conjuntos e contar quantos alunos ficam em cada região do diagrama de Venn (duas circunferências que se sobrepõem):
Definimos:
  • C = conjunto dos aprovados em cálculo, com |C|=18.
  • F = conjunto dos aprovados em física, com |F|=10.
  • |C\cap F|=5 é o número de alunos aprovados em ambas.
No diagrama de Venn com duas circunferências (uma para C e outra para F), há quatro regiões:
  1. “Apenas cálculo” = elementos em C que não estão em F. O tamanho dessa região é |C|-|C\cap F|.
  2. “Apenas física” = elementos em F que não estão em C. O tamanho dessa região é |F|-|C\cap F|.
  3. “Ambas” = |C\cap F| (região de interseção).
  4. “Nenhuma” = alunos que não estão nem em C nem em F; calculamos subtraindo do total os que aparecem nas três regiões anteriores.
Agora calculamos cada uma dessas quantidades passo a passo.

Passo 3

Calcular “apenas cálculo”:
\text{apenas cálculo} = |C| - |C\cap F| = 18 - 5 = 13.á
Calcular “apenas física”:
\text{apenas física} = |F| - |C\cap F| = 10 - 5 = 5.í
A interseção (ambas) já foi dada:
\text{ambas} = |C\cap F| = 5.
Calcular “nenhuma” (reprovados em ambas):
\text{nenhuma} = 30 - (\text{apenas cálculo} + \text{apenas física} + \text{ambas}) = 30 - (13 + 5 + 5) = 30 - 23 = 7.áí
Esses números são os que você colocaria no Diagrama de Venn: círculo C: região interior dividida em 13 (apenas C) e 5 (interseção); círculo F: região interior dividida em 5 (apenas F) e 5 (interseção); fora dos círculos: 7.

Passo 4

Agora probabilidades. Lembre que, quando todos os alunos têm a mesma chance de serem escolhidos, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento}) = \frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}}.úáú
Aqui o número total é 30.
b) Probabilidade de escolher um aluno aprovado em cálculo ou em física = probabilidade de C\cup F. Use a fórmula da união (princípio da inclusão-exclusão):
|C\cup F| = |C| + |F| - |C\cap F|.
Substituindo:
|C\cup F| = 18 + 10 - 5 = 23.
Portanto
P(C\cup F) = \frac{23}{30}.

Passo 5

c) Probabilidade de escolher um aluno aprovado somente em cálculo = número “apenas cálculo” dividido pelo total:
P(\text{apenas cálculo}) = \frac{13}{30}.á

Passo 6

d) Probabilidade de escolher um aluno reprovado (não aprovado em nenhuma das duas) = número “nenhuma” dividido pelo total:
P(\text{nenhuma}) = \frac{7}{30}.
(Faça uma checagem rápida: 13+5+5+7=30, soma perfeita — as regiões cobrem todos os alunos.)

Resposta

a) Diagrama de Venn: apenas cálculo 13; apenas física 5; ambas 5; nenhuma 7.
b) P(\text{cálculo ou física})=\dfrac{23}{30}áí.
c) P(\text{somente cálculo})=\dfrac{13}{30}á.
d) P(\text{reprovado})=\dfrac{7}{30}.

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