Considere um espaço bidimensional. Uma base completa |1rang<=,|2rang<= é usada para representar os operadores A=lambda(|1rang<=lang<= 2|+|2rang<=lang<= 1|) e B=mu(-i|1rang<=lang<= 2|+i|2rang<=lang<= 1|), onde lambda e mu são constantes reais positivas.
Calcule o comutador entre os operadores A e B.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um espaço 2D com a base A = lambdal(lvert1rang<=lang<=2rvert + lvert2rang<=lang<=1rvertr), B = mul(-i,lvert1rang<=lang<=2rvert + i,lvert2rang<=lang<=1rvertr), e dois operadores
[A,B] = AB - BA
onde . A tarefa é achar o comutador
Conteúdo: operações com kets e bras (multiplicação de projetores) e definição de comutador. Vamos precisar usar pra multiplicar as partes.

Passo 2

Calcular AB = lambdamul(lvert1rang<=lang<=2rvert + lvert2rang<=lang<=1rvertr) l(-ilvert1rang<=lang<=2rvert + ilvert2rang<=lang<=1rvertr) .
AB = lambdamul(i,lvert1rang<=lang<=1rvert - i,lvert2rang<=lang<=2rvertr) = ilambdamul(lvert1rang<=lang<=1rvert - lvert2rang<=lang<=2rvertr)
Distribuindo, temos quatro termos. Cada par vira :
  1. .

  2. Somando:

Passo 3

Agora BA = lambdamul(-ilvert1rang<=lang<=2rvert + ilvert2rang<=lang<=1rvertr) l(lvert1rang<=lang<=2rvert + lvert2rang<=lang<=1rvertr) :
BA = lambdamul(-i,lvert1rang<=lang<=1rvert + i,lvert2rang<=lang<=2rvertr) = -,ilambdamul(lvert1rang<=lang<=1rvert - lvert2rang<=lang<=2rvertr)
De novo quatro termos:

  1. Logo,

Passo 4

O comutador é
[A,B] = AB - BA = ilambdamul(lvert1rang<=lang<=1rvert - lvert2rang<=lang<=2rvertr) - l[-ilambdamul(lvert1rang<=lang<=1rvert - lvert2rang<=lang<=2rvertr)r]
Isso dá
[A,B] = 2,i,lambdamu;l(lvert1rang<=lang<=1rvert - lvert2rang<=lang<=2rvertr)

Resposta

boxed[A,B] = 2,i,lambdamu;l(lvert1rang<=lang<=1rvert - lvert2rang<=lang<=2rvertr)

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