Considere um espaço bidimensional, com coordenadas x^1=r, x^2=theta, cujo elemento de distância é dado por
d s^2=d r^2+r^2 d theta
Calcule a seguinte componente do símbolo de Christoffel:
Gamma(12)^2

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço bidimensional em coordenadas polares (r,theta) com elemento de linha
d s^2=d r^2+r^2dtheta^2
Precisamos encontrar Gamma^2(12), ou seja Gamma^thetartheta. Vamos usar a definição de símbolos de Christoffel em termos da métrica.

Passo 2

Identificamos os componentes da métrica gij e da inversa g^ij:
g11=1, g22=r^2, g12=g21=0,
g^11=1, g^22=1r^2, g^12=g^21=0

Passo 3

A definição de Christoffel é
Gamma^ijk =12,g^ielll(partialjgell k+partialkgell j-partialellgjkr)
Queremos i=2, j=1, k=2.

Passo 4

Calculemos os derivados necessários:
partial1g22=partialpartial r(r^2)=2r, partial2g21=partialtheta(0)=0, partial2g12=0
Logo
Gamma^212 =12,g^22l(partial1g22+partial2g21-partial2g12r) =12cdot1r^2,(2r+0-0) =1r

Resposta

Gamma^2(12)=1r.

Exercícios relacionados