Mostre que
onde

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
partial Tem^alpha betapartial x^beta =-F^alphamuJ^mu,
onde
Tem^alpha beta =F^alphagammaF^betagamma -tfrac14,g^alphabetaFde<agammaF^de<agamma
Para isso vamos usar:
- A equação de Maxwell (inusitada)
partialbetaF^betaalpha=-J^alpha,
- A identidade de Bianchi (ciclicidade)
partialbetaFde<agamma +partialde<aFgammabeta +partialgammaFbetade<a=0,
- E o fato de Fmunu=-Fnumu.

Passo 2

Aplicamos a derivada em Tem^alphabeta e usamos regra do produto:
partialbetaT^alphabeta =partialbetal(F^alphagammaF^betagammar) -tfrac14partialbetal(g^alphabetaFde<agammaF^de<agammar)
Expandindo,
partialbetaT^alphabeta =(partialbetaF^alphagamma)F^betagamma +F^alphagamma(partialbetaF^betagamma) -tfrac14,g^alphabeta,2,F^de<agamma(partialbetaFde<agamma)
Ou seja,
partialbetaT^alphabeta =(partialbetaF^alphagamma)F^betagamma +F^alphagamma(partialbetaF^betagamma) -tfrac12,F^de<agammapartial^alphaFde<agamma

Passo 3

Agora separamos em dois grupos:
1. Termos com partial Fcdot F:
(partialbetaF^alphagamma)F^betagamma -tfrac12,F^de<agammapartial^alphaFde<agamma
2. Termo com partialbetaF^betagamma:
F^alphagamma(partialbetaF^betagamma)

Passo 4

No grupo 1 usamos a identidade de Bianchi para mostrar que ele some zero. De fato, escrevendo
partial^alphaFde<agamma =partialde<aF^alphagamma +partialgammaFde<a^alpha
e usando a antisimetria em de<arightarrowgamma, verifica-se a completa anulação do grupo 1.

Passo 5

Fica apenas o grupo 2:
partialbetaT^alphabeta =F^alphagamma(partialbetaF^betagamma)
Aplicando a equação de Maxwell partialbetaF^betagamma=-J^gamma, obtemos
partialbetaT^alphabeta =F^alphagamma(-J^gamma) =-F^alphamuJ^mu

Resposta

partial Tem^alpha betapartial x^beta =-F^alphamuJ^mu

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