Mostre que,
Fmu nu=Dmu Anu-Dnu Amu=partialmu Anu-partialnu Amu-2 Smu nu^rho Arho
onde
Smu beta ^gamma=12 Gamma[mu beta]^gamma,
é chamado tensor de torção.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para um campo vetorial covariante Anu e derivada covariante Dmu associada a uma conexão Gammamunu^rho com torção, o objeto
Fmu nu=DmuAnu-DnuAmu
pode ser reescrito como
Fmu nu=partialmuAnu-partialnuAmu-2,Smunu^rhoArho,
onde
Smunu^rho=tfrac12,Gamma[munu]^rho
é o tensor de torção.

Passo 2

Recorde a definição de derivada covariante sobre o componente covariante Anu:
DmuAnu=partialmuAnu-Gammamunu^rho,Arho
Aqui partialmuAnu é a derivada parcial e Gammamunu^rho são as componentes da conexão arbitrária (que pode ter parte anti‐simétrica).

Passo 3

Forme a diferença anti‐simétrica
DmuAnu-DnuAmu =l(partialmuAnu-Gammamunu^rhoArhor) -l(partialnuAmu-Gammanumu^rhoArhor)
Isso expande para
DmuAnu-DnuAmu =partialmuAnu-partialnuAmu -l(Gammamunu^rho-Gammanumu^rhor),Arho

Passo 4

Note que a parte anti‐simétrica da conexão é
Gamma[munu]^rho =tfrac12l(Gammamunu^rho-Gammanumu^rhor),
e a definição do tensor de torção é
Smunu^rho=tfrac12,Gamma[munu]^rho
Logo
Gammamunu^rho-Gammanumu^rho =2,Gamma[munu]^rho =4,Smunu^rho,
porém como já tínhamos um fator tfrac12 em Smunu^rho, fica
Gammamunu^rho-Gammanumu^rho =2,Smunu^rho

Passo 5

Substituindo esse resultado em
DmuAnu-DnuAmu =partialmuAnu-partialnuAmu -l(Gammamunu^rho-Gammanumu^rhor),Arho,
obtemos finalmente
Fmunu =DmuAnu-DnuAmu =partialmuAnu-partialnuAmu -2,Smunu^rho,Arho

Resposta

Fmunu =partialmuAnu-partialnuAmu -2,Smunu^rho,Arho,
com Smunu^rho=tfrac12,Gamma[munu]^rho o tensor de torção.

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