Mostre que,
onde
é chamado tensor de torção.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para um campo vetorial covariante
e derivada covariante
associada a uma conexão
com torção, o objeto
pode ser reescrito como
onde
é o tensor de torção.
Passo 2
Recorde a definição de derivada covariante sobre o componente covariante
:
Aqui
é a derivada parcial e
são as componentes da conexão arbitrária (que pode ter parte anti‐simétrica).
Passo 3
Forme a diferença anti‐simétrica
Isso expande para
Passo 4
Note que a parte anti‐simétrica da conexão é
e a definição do tensor de torção é
Logo
porém como já tínhamos um fator
em
, fica
Passo 5
Substituindo esse resultado em
obtemos finalmente
Resposta
com
o tensor de torção.