Num dado referencial S os campos elétricos e magnéticos possuem os valores E e B. Para um outro observador, num referencial S^prime, estes campos são paralelos. Escreva o valor dos campos E^prime e B^prime do referencial S^prime em relação aos campos E e B do referencial S.

Passo 1

O enunciado diz que no referencial S temos campos elétrico e magnético E e B. Queremos encontrar um referencial S', que se move em velocidade v relativa a S, tal que em S' os campos E' e B' fiquem paralelos. O conteúdo que precisamos é a transformação de Lorentz dos campos eletromagnéticos.

Passo 2

Primeiro escrevemos as transformações gerais de Lorentz para campos, decompondo-os em componentes paralelas e perpendiculares a v. Seja
Eparal<=l=(Ecdotv)v^2,v, Eperp=E-Eparal<=l,
Bparal<=l=(Bcdotv)v^2,v, Bperp=B-Bparal<=l
Então
E'paral<=l=Eparal<=l, E'perp=gammal(Eperp+vtimesBr),
B'paral<=l=Bparal<=l, B'perp=gammal(Bperp-1c^2,vtimesEr),
onde
gamma=1raiz1-tfracv^2c^2,

Passo 3

Para que E' e B' fiquem paralelos devemos ter E'timesB'=0. Mostra-se que isso ocorre se e somente se
v,paral<=l,EtimesB
Logo escolhemos
v=v,n, n=EtimesBl|EtimesBr|

Passo 4

Basta fixar v de modo que Ecdotv=0 e Bcdotv=0 (automático pois vparal<=lEtimesB) e ainda um módulo que nivele as componentes. O resultado padrão é
v=c^2,|EtimesB|E^2 + c^2B^2,, gamma=1raiz1-v^2c^2,

Passo 5

Com Ecdotv=0 e Bcdotv=0 temos Eparal<=l=Bparal<=l=0. As fórmulas simplificam-se para
E'=gammal(E+vtimesBr), B'=gammal(B-1c^2,vtimesEr),
com v dado acima. Por construção E'timesB'=0, ou seja, E'paral<=lB'.

Resposta

Para
v=c^2,EtimesBE^2 + c^2B^2 e gamma=1raiz1-tfracv^2c^2
temos
boxed E'=gammal(E+vtimesBr), B'=gammal(B-1c^2,vtimesEr)
onde E' e B' são paralelos.

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