Dados, em \mathbb{R}^{3}, o produto interno e o subespaço W, determine a dimensão e uma base para W^{\perp}.
O produto escalar com pesos: p_{1}=2, p_{2}=3, p_{3}=4 e W=\left\{\left[\begin{array}{l}z \\\ y \\\ z\end{array}\right]: y, z \in \mathbb{R}\right\}.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 o produto interno ponderado
\langle x,y\rangle \;=\;2\,x_1y_1\;+\;3\,x_2y_2\;+\;4\,x_3y_3
e o subespaço
W=\bigl\{(z,y,z)^{T}:y,z\in\mathbb{R}\bigr\}.
Queremos determinar \dim W^{\perp} e encontrar uma base de W^{\perp}.

Passo 2

Para entender W, note que qualquer vetor em W pode ser escrito como combinação linear de
u=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
De fato,
(z,y,z)^{T}=z\,u+y\,v, e u,v são linearmente independentes. Logo
\dim W = 2.

Passo 3

Pela fórmula da dimensão em espaços com produto interno,
\dim W + \dim W^{\perp} = 3,
então
\dim W^{\perp} = 3 - 2 = 1.

Passo 4

Um vetor genérico em \mathbb{R}^3 é (a,b,c)^{T}. Para pertencer a W^{\perp} deve ser ortogonal a u e a v:
\langle (a,b,c),u\rangle =2a\cdot1+3b\cdot0+4c\cdot1 =2a+4c =0,
\langle (a,b,c),v\rangle =2a\cdot0+3b\cdot1+4c\cdot0 =3b =0.
Das duas equações obtemos
3b=0\implies b=0, \qquad 2a+4c=0\implies a=-2c.

Passo 5

A condição geral é (a,b,c)=(-2c,0,c)=c\,(-2,0,1). Como \dim W^{\perp}=1, basta escolher c=1 e tomar
\begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
como gerador.

Resposta

\dim W^{\perp}=1
Base de W^{\perp}: \bigl\{(-2,0,1)^{T}\bigr\}.

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