Para mostrar que f é um produto interno, precisamos verificar três propriedades: 1. bilinearidade em cada argumento, 2. simetria, 3. positividade definida (f(bar x,bar x)>0 sempre que bar xneq0).]
Passo 2
Bilinearidade. Para quaisquer escalares alpha,beta e vetores bar x,bar x',bar y, temos
f(alphabar x+betabar x',bar y) =(alphabar x+betabar x')^tA,bar y =alpha,bar x^tA,bar y +beta,bar x'^tA,bar y =alpha,f(bar x,bar y)+beta,f(bar x',bar y),
e de modo análogo em relação ao segundo argumento. Logo, f é bilinear.
Passo 3
Simetria. Como A é simétrica (A^t=A), temos
f(bar y,bar x) =bar y^tA,bar x =l(bar x^tA^tbar yr) =bar x^tA,bar y =f(bar x,bar y)
Passo 4
Positividade definida. Precisamos mostrar que
f(bar x,bar x)=bar x^tA,bar x>0 sempre que bar xneq0
Isto equivale a provar que A é positiva definida. Pelo critério de Sylvester, basta verificar que todos os menores principais de A têm determinante positivo: 1. Menor principal de ordem 1:
De<a1 = 3 > 0
2. Menor principal de ordem 2 (submatriz superior esquerda):