Considere no espaço linear R^3 a função
f(barx, bary)=x^t A y
onde barx=[lllx1 & x2 & x3]^t, bary=[llly1 & y2 & y3]^t, e a matriz A é dada por
A=[ccc 3 & raiz22 & raiz22 raiz22 & 1 & 0 raiz22 & 0 & 1 ]
Mostre que f define um produto interno em R^3.

Passo 1

O enunciado define em R^3 a aplicação bilinear
f(bar x,bar y)=bar x^tA,bar y,
onde
bar x,bar yinR^3 e
A= 3 & raiz22 & raiz22[6pt] raiz22 & 1 & 0[3pt] raiz22 & 0 & 1
Para mostrar que f é um produto interno, precisamos verificar três propriedades:
1. bilinearidade em cada argumento,
2. simetria,
3. positividade definida ( f(bar x,bar x)>0 sempre que bar xneq0).]

Passo 2

Bilinearidade. Para quaisquer escalares alpha,beta e vetores bar x,bar x',bar y, temos
f(alphabar x+betabar x',bar y) =(alphabar x+betabar x')^tA,bar y =alpha,bar x^tA,bar y +beta,bar x'^tA,bar y =alpha,f(bar x,bar y)+beta,f(bar x',bar y),
e de modo análogo em relação ao segundo argumento. Logo, f é bilinear.

Passo 3

Simetria. Como A é simétrica ( A^t=A), temos
f(bar y,bar x) =bar y^tA,bar x =l(bar x^tA^tbar yr) =bar x^tA,bar y =f(bar x,bar y)

Passo 4

Positividade definida. Precisamos mostrar que
f(bar x,bar x)=bar x^tA,bar x>0 sempre que bar xneq0
Isto equivale a provar que A é positiva definida. Pelo critério de Sylvester, basta verificar que todos os menores principais de A têm determinante positivo:
1. Menor principal de ordem 1:
De<a1 = 3 > 0
2. Menor principal de ordem 2 (submatriz superior esquerda):
De<a2 =det 3 & tfracraiz22[3pt] tfracraiz22 & 1 =3cdot1 -l(tfracraiz22r)^2 =3-tfrac12 =tfrac52>0
3. Menor principal de ordem 3 (determinante de A):
De<a3 =det(A) =3cdot(1cdot1-0cdot0) -tfracraiz22l(tfracraiz22cdot1-0cdottfracraiz22r) +tfracraiz22l(tfracraiz22cdot0-1cdottfracraiz22r) =3-tfrac12-tfrac12 =2>0
Como De<a1,De<a2,De<a3>0, A é positiva definida, logo
bar x^tA,bar x>0 para todo bar xneq0.]

Passo 5

Tendo mostrado bilinearidade, simetria e positividade definida, concluímos que f satisfaz todas as propriedades de um produto interno em R^3.

Resposta

A aplicação f(bar x,bar y)=bar x^tA,bar y define um produto interno em R^3.

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