Exercício 5. (Hounie capítulo 1 ex. 2) Quais das funções abaixo são funções localmente integráveis?
f(x)=1x em R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=1x
definida em R é localmente integrável. Lembrando que, no sentido de Lebesgue, dizemos fin L^1loc(R) se para todo compacto KsubsetR tivermos
integralK l|f(x)r|,dx < infty

Passo 2

A única possível falha de integrabilidade está na vizinhança de x=0, pois fora de zero a função é contínua e, portanto, integrável em qualquer compacto que não o contenha. Então tomamos um compacto que contém zero, por exemplo K=[-r,r] com r>0. Calculamos
integral-r^r l|tfrac1xr|,dx =2integral0^r1x,dx =2l[ln(x)r]x=0^x=r =2l(ln(r)-limxto0^+ln(x)r) =infty
Logo essa integral diverge.

Passo 3

Como existe pelo menos um compacto (aquele contendo 0) em que integralK|f| é infinita, concluímos que
1xnotin L^1loc(R)

Resposta

A função f(x)=tfrac1x não é localmente integrável em R.

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