Exercício 4. (Hounie capítulo 1 ex. 1) Determine quais das funções abaixo são funções teste (elementos de ): .
Passo 1
O enunciado pede para ver se
f(x)= cos(x),&|x|<pi2, 0,&|x|>=pi2
é um elemento de Cc^infty(R).
Em outras palavras, precisamos checar duas coisas:
f tem suporte compacto?
f é infinitamente diferenciável em toda a reta?
Passo 2
Verificamos o suporte de f.
Por definição, supp,f é o fecho do conjunto onde f não é zero. Aqui f(x)neq0 só quando |x|<pi/2, logo
supp,f=l[-tfracpi2,tfracpi2r]
Esse intervalo é compacto em R, então f tem suporte compacto.
Passo 3
Agora checamos a diferenciabilidade em x=pmpi/2.
Para |x|<pi/2 temos
f'(x)=-sin(x),
enquanto para |x|>pi/2 vale
f'(x)=0
Analisando a derivada na fronteira x=pi/2:
Derivada lateral pela esquerda: limxto(pi/2)^-f'(x)=-sinl(tfracpi2r)=-1
Derivada lateral pela direita: limxto(pi/2)^+f'(x)=0
Como -1neq0, a derivada não é contínua em x=pi/2. Logo f não é nem C^1 em toda a reta e muito menos C^infty.
Resposta
A função f não pertence a Cc^infty(R), pois não é diferenciável (de forma contínua) em x=pmtfracpi2.