Exercício 4. (Hounie capítulo 1 ex. 1) Determine quais das funções abaixo são funções teste (elementos de Cc^infty(R) ):
f(x)=ccos (x) e^1(4 pi^2-x^2),|x|<pi2 0,|x| >= pi2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= cos(x),exp!l(tfrac14pi^2-x^2r),&|x|<tfracpi2, 0,&|x|>=tfracpi2,
e pergunta se fin Cc^infty(R). Para isso precisamos verificar duas coisas:
  1. suporte de f é compacto, e
  2. f é C^infty em toda reta, em particular nas fronteiras x=pmtfracpi2.

Passo 2

Suporte de f. Por definição f(x)=0 para |x|>=tfracpi2 e pode ser não nula apenas em l(-tfracpi2,tfracpi2r). Logo
suppfsubseteql[-tfracpi2,tfracpi2r],
que é compacto. Então f tem suporte compacto.

Passo 3

Suavidade em lvert xrvert<tfracpi2. No interior do suporte f(x) é produto de cos(x) e expl(1/(4pi^2 - x^2)r), ambas funções C^infty no intervalo lvert xrvert<tfracpi2 (o denominador 4pi^2-x^2 nunca se anula ali). Logo fin C^inftyl(-tfracpi2,tfracpi2r).

Passo 4

Regularidade na fronteira x=tfracpi2. Para x>tfracpi2 temos f(x)equiv0, cuja derivada é zero. Para ver continuidade da derivada em x=tfracpi2 pelo lado esquerdo, calculemos
f'(x) =-sin(x),e^14pi^2-x^2 +cos(x),e^14pi^2-x^2cdot2x(4pi^2-x^2)^2
Ao aproximar xtotfracpi2^- nota-se que cos(tfracpi2)=0 zera o segundo termo, e sin(tfracpi2)=1. Assim
limxtopi2^-f'(x) =-1cdot e^1,4pi^2-(pi/2)^2, ;=;-e^415pi^2,
que é não nulo. Já pelo lado direito f'(x)=0. Como esses limites não coincidem, f' não é contínua em x=tfracpi2. Portanto fnotin C^1(R) e muito menos C^infty.

Passo 5

Conclusão: embora f tenha suporte compacto, ela falha em ser C^infty nas fronteiras do suporte porque suas derivadas de primeira ordem não se anulam lá. Logo fnotin Cc^infty(R).

Resposta

A função f não é elemento de Cc^infty(R).

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