e pergunta se fin Cc^infty(R). Para isso precisamos verificar duas coisas:
suporte de f é compacto, e
f é C^infty em toda reta, em particular nas fronteiras x=pmtfracpi2.
Passo 2
Suporte de f. Por definição f(x)=0 para |x|>=tfracpi2 e pode ser não nula apenas em l(-tfracpi2,tfracpi2r). Logo
suppfsubseteql[-tfracpi2,tfracpi2r],
que é compacto. Então f tem suporte compacto.
Passo 3
Suavidade em lvert xrvert<tfracpi2. No interior do suporte f(x) é produto de cos(x) e expl(1/(4pi^2 - x^2)r), ambas funções C^infty no intervalo lvert xrvert<tfracpi2 (o denominador 4pi^2-x^2 nunca se anula ali). Logo fin C^inftyl(-tfracpi2,tfracpi2r).
Passo 4
Regularidade na fronteira x=tfracpi2. Para x>tfracpi2 temos f(x)equiv0, cuja derivada é zero. Para ver continuidade da derivada em x=tfracpi2 pelo lado esquerdo, calculemos
que é não nulo. Já pelo lado direito f'(x)=0. Como esses limites não coincidem, f' não é contínua em x=tfracpi2. Portanto fnotin C^1(R) e muito menos C^infty.
Passo 5
Conclusão: embora f tenha suporte compacto, ela falha em ser C^infty nas fronteiras do suporte porque suas derivadas de primeira ordem não se anulam lá. Logo fnotin Cc^infty(R).