Considere o espaço das matrizes 3 times 3 com coeficientes reais, M3 times 3(R). Além disso, considere o traço de uma matriz A=(ai, j) em M3 times 3(R), definida como a soma dos elementos da diagonal principal de A, ou seja, tr(A)=a11+a22+a33. Mostre que a aplicação lang<= A, Brang<==tr(B^t A), com A, B in M3 times 3(R) e B^t sendo a matriz transposta de B, é um produto interno de M3 times 3(R). Calcule a distância entre dois vetores arbitrários de M3 times 3(R).

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial M3times3(R) e a aplicação
lang<= A,Brang<= = tr!l(B^tAr)
para A,Bin M3times3(R). Queremos mostrar que isso é um produto interno, ou seja, verificar simetria, bilinearidade e positividade, e em seguida calcular a distância induzida por esse produto interno entre dois vetores (matrizes) quaisquer.

Passo 2

(Simetria) Para A,Bin M3times3(R) vale
lang<= A,Brang<= = tr!l(B^tAr)
Como tr(X^t)=tr(X) e (B^tA)^t=A^tB, temos
lang<= A,Brang<= = trl((B^tA)^tr) = trl(A^tBr) = lang<= B,Arang<=

Passo 3

(Bilinearidade) Para A1,A2,Bin M3times3(R) e lambdainR:
lang<= A1 + A2,,Brang<= = trl(B^t(A1+A2)r) = tr(B^tA1)+tr(B^tA2) = lang<= A1,Brang<= + lang<= A2,Brang<=,
lang<= lambda A1,,Brang<= = trl(B^t(lambda A1)r) = lambda,tr(B^tA1) = lambda,lang<= A1,Brang<=
E pela simetria segue linearidade também na segunda entrada.

Passo 4

(Positividade definida) Para Ain M3times3(R):
lang<= A,Arang<= = tr(A^tA) = sumi=1^3sumj=1^3aij^2 >= 0,
com igualdade só se todos os aij=0, i.e., A é a matriz zero. Logo lang<=cdot,cdotrang<= é um produto interno.

Passo 5

(Norma e distância) A norma induzida é
|A| = raizlang<= A,Arang<= = raizsumi,jaij^2
A distância entre A e B é
d(A,B) = |A-B| = raizlang<= A-B,,A-Brang<=

Passo 6

(Cálculo explícito da distância) Escrevendo C = A-B, temos
d(A,B) = raiztrl((A-B)^t(A-B)r) = raizsumi=1^3sumj=1^3(aij-bij)^2

Resposta

A distância entre A e B em M3times3(R) é
d(A,B) = raizsumi=1^3sumj=1^3(aij-bij)^2

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