Considere o espaço das matrizes com coeficientes reais, . Além disso, considere o traço de uma matriz em , definida como a soma dos elementos da diagonal principal de , ou seja, . Mostre que a aplicação e sendo a matriz transposta de , é um produto interno de . Calcule a distância entre dois vetores arbitrários de .
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial e a aplicação
para . Queremos mostrar que isso é um produto interno, ou seja, verificar simetria, bilinearidade e positividade, e em seguida calcular a distância induzida por esse produto interno entre dois vetores (matrizes) quaisquer.
Passo 2
(Simetria) Para vale
Como e , temos
Passo 3
(Bilinearidade) Para e :
E pela simetria segue linearidade também na segunda entrada.
Passo 4
(Positividade definida) Para :
com igualdade só se todos os , i.e., é a matriz zero. Logo é um produto interno.
Passo 5
(Norma e distância) A norma induzida é
A distância entre e é
Passo 6
(Cálculo explícito da distância) Escrevendo , temos