Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita e considere L(E) o espaço vetorial dos operadores lineares sobre R.
Se A in L(E) for auto-ajunto e isometria, então A cdot A=I d.

Passo 1

O enunciado diz que E é um espaço euclidiano de dimensão finita e que AinL(E) é auto-adjunto e isometria. Precisamos mostrar que
Acdot A = Id,
ou seja, A^2 = Id.

Passo 2

Recordando a definição de operador adjunto: para qualquer TinL(E) existe T^* tal que
lang<= T(x),,yrang<= = lang<= x,,T^*(y)rang<= forall,x,yin E
Dizemos que T é auto-adjunto se T^* = T. No nosso caso, como A é auto-adjunto, vale
A^* = A

Passo 3

Agora, isometria significa preservar norma (e, portanto, produto interno):
|A(x)| = |x|forall,xin E Longrightarrow lang<= A(x),A(y)rang<= = lang<= x,yrang<= forall,x,yin E
Mas
lang<= A(x),A(y)rang<= = lang<= x,,A^*A(y)rang<=,
então lang<= x,,(A^*A - Id)(y)rang<= = 0 para todos x,y. De onde segue
A^*A = Id

Passo 4

Juntando os resultados: como A^* = A (auto-adjunto) e A^*A = Id (isometria), obtemos
A,A = A^*A = Id,
ou seja, A^2 = Id.

Resposta

Acdot A = Id

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