Seja
um espaço euclidiano de dimensão finita e considere
o espaço vetorial dos operadores lineares sobre
.
for auto-ajunto e isometria, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço euclidiano de dimensão finita e que
é auto-adjunto e isometria. Precisamos mostrar que
ou seja,
.
Passo 2
Recordando a definição de operador adjunto: para qualquer
existe
tal que
Dizemos que
é auto-adjunto se
. No nosso caso, como
é auto-adjunto, vale
Passo 3
Agora, isometria significa preservar norma (e, portanto, produto interno):
Mas
então
para todos
. De onde segue
Passo 4
Juntando os resultados: como
(auto-adjunto) e
(isometria), obtemos
ou seja,
.