Considere o espaço P_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno \langle f(t), g(t)\rangle=\int_{o}^{1} f(t) g(t) d t
b) Dados f(t)=t+2, g(t)=3 t-2 e h(t)=t^{2} determine \langle f, g\rangle,\langle f, h\rangle,||g||,||h||, os normalizados de g e de h, d(f, g), d(f, h).

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) com produto interno
\langle f,g\rangle = \int_{0}^{1} f(t)\,g(t)\,dt.
Dados os polinômios
f(t)=t+2,\quad g(t)=3t-2,\quad h(t)=t^{2},
vamos calcular
  1. \langle f,g\rangle e \langle f,h\rangle,
  2. \|g\| e \|h\|,
  3. os vetores normalizados de g e h,
  4. as distâncias d(f,g)=\|f-g\| e d(f,h)=\|f-h\|.

Passo 2

Para \langle f,g\rangle usamos
\langle f,g\rangle = \int_{0}^{1} (t+2)(3t-2)\,dt.
Expandindo o integrando:
(t+2)(3t-2) = 3t^{2} +4t -4.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt = 1,\quad \int_{0}^{1}4t\,dt = 2,\quad \int_{0}^{1}(-4)\,dt = -4.
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\langle f,g\rangle = 1 + 2 - 4 = -1.

Passo 3

Para \langle f,h\rangle temos
\langle f,h\rangle = \int_{0}^{1} (t+2)\,t^{2}\,dt.
Escrevendo como soma de integrais:
\int_{0}^{1}t^{3}\,dt = \tfrac{1}{4}, \quad \int_{0}^{1}2t^{2}\,dt = \tfrac{2}{3}.
Portanto
\langle f,h\rangle = \tfrac{1}{4} + \tfrac{2}{3} = \tfrac{3+8}{12} = \tfrac{11}{12}.

Passo 4

Calculamos as normas por \|p\| = \sqrt{\langle p,p\rangle}.
Para g:
\|g\|^{2} = \int_{0}^{1}(3t-2)^{2}\,dt = \int_{0}^{1}(9t^{2}-12t+4)\,dt = \bigl[3t^{3}-6t^{2}+4t\bigr]_{0}^{1} = 3 - 6 + 4 = 1,
logo \|g\| = 1.
Para h:
\|h\|^{2} = \int_{0}^{1}(t^{2})^{2}\,dt = \int_{0}^{1}t^{4}\,dt = \tfrac{1}{5},
logo \|h\| = \sqrt{\tfrac{1}{5}} = \tfrac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Os vetores normalizados são
\frac{g}{\|g\|} = 3t - 2, \quad \frac{h}{\|h\|} = \sqrt{5}\,t^{2}.

Passo 6

Para a distância usamos d(p,q)=\|p-q\|.
Para d(f,g):
f(t)-g(t) = (t+2) - (3t-2) = -2t + 4,
\|f-g\|^{2} = \int_{0}^{1}(-2t+4)^{2}\,dt = \int_{0}^{1}(4t^{2}-16t+16)\,dt = \Bigl[\tfrac{4}{3} - 8 + 16\Bigr] = \tfrac{28}{3},
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d(f,g) = \sqrt{\tfrac{28}{3}}.
Para d(f,h):
f(t)-h(t) = (t+2) - t^{2} = -t^{2}+t+2.
Expandindo e integrando:
(-t^{2}+t+2)^{2} = t^{4} -2t^{3} -3t^{2} +4t +4,
\|f-h\|^{2} = \int_{0}^{1}(t^{4} -2t^{3} -3t^{2} +4t +4)\,dt = \bigl[\tfrac{1}{5} -\tfrac{1}{2} -1 +2 +4\bigr] = \tfrac{47}{10},
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d(f,h) = \sqrt{\tfrac{47}{10}}.

Resposta

\langle f,g\rangle = -1 \langle f,h\rangle = \tfrac{11}{12} \|g\| = 1 \|h\| = \tfrac{1}{\sqrt{5}}
vetor normalizado de g: 3t-2
vetor normalizado de h: \sqrt{5}\,t^{2} d(f,g) = \sqrt{\tfrac{28}{3}} d(f,h) = \sqrt{\tfrac{47}{10}}

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