Ache para cada matriz, se possível, uma matriz P que diagonaliza A e determine P^{-1} A P.
c) \left[\begin{array}{rrr}4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & -2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar, se possível, a matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}
ou seja, encontrar uma matriz P cujas colunas sejam autovetores de A e verificar P^{-1}AP. Para isso precisamos achar os autovalores (resolvendo \det(A-\lambda I)=0) e estudar a dimensão de cada espaço próprio.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 2 & 3\\\\ 2 & 1-\lambda & 2\\\\ -1 & -2 & -\lambda \end{vmatrix}.
Fazendo a expansão por primeira linha obtemos
\det(A-\lambda I) = (4-\lambda)\bigl((1-\lambda)(-\lambda)-2\cdot(-2)\bigr) -2\bigl(2(-\lambda)-2(-1)\bigr) +3\bigl(2(-2)-(1-\lambda)(-1)\bigr).
Simplificando chega-se a
\det(A-\lambda I) = -\lambda^3 +5\lambda^2 -7\lambda +3.

Passo 3

O polinômio -\lambda^3 +5\lambda^2 -7\lambda +3 pode ser escrito como
-(\lambda^3 -5\lambda^2 +7\lambda -3) = -(\lambda-1)^2(\lambda-3).
Logo os autovalores são
\lambda=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \quad \lambda=3\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)v=0, i.e.
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3\\\\ 2 & 0 & 2\\\\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da segunda linha vem x+z=0\implies x=-z. Substituindo nas outras equações obtém-se y=0 e nenhuma restrição extra sobre z. Logo o espaço próprio de \lambda=1 é gerado por um único vetor, por exemplo
v_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
ou seja, a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1<2.

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é menor que sua multiplicidade algébrica, não há base de autovetores completa. Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável, pois o autovalor \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) tem espaço próprio de dimensão 1.

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