Ache para cada matriz, se possível, uma matriz P que diagonaliza A e determine P^{-1} A P.
c) \left[\begin{array}{rrr}4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & -2 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar, se possível, a matriz
ou seja, encontrar uma matriz P cujas colunas sejam autovetores de A e verificar P^{-1}AP. Para isso precisamos achar os autovalores (resolvendo \det(A-\lambda I)=0) e estudar a dimensão de cada espaço próprio.
Da segunda linha vem x+z=0\implies x=-z. Substituindo nas outras equações obtém-se y=0 e nenhuma restrição extra sobre z. Logo o espaço próprio de \lambda=1 é gerado por um único vetor, por exemplo
v_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},
ou seja, a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 1<2.
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é menor que sua multiplicidade algébrica, não há base de autovetores completa. Portanto A não é diagonalizável.
Resposta
A matriz A não é diagonalizável, pois o autovalor \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) tem espaço próprio de dimensão 1.