Seja
um operador do
tal que
para todo
. Mostre que existe
tal que
são LI.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
que não é da forma
para nenhum
. Precisamos mostrar que existe um vetor
tal que
seja um conjunto de vetores linearmente independentes em
. Em
dois vetores são LI exatamente quando o determinante formado por eles é não nulo.
Passo 2
Definimos a aplicação
Note que
se e somente se
e
forem LD. Nosso objetivo é provar que
não é a função identicamente zero, pois então haveria
com
.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
para todo
. Então
o que implica que
é sempre múltiplo de
. Logo existe uma função escalar
tal que
Isto significa que qualquer vetor
é autovetor de
.
Passo 4
Como
é linear, os autovalores em diferentes direções não podem variar. Seja
a base canônica. Então
No entanto,
também é autovetor, logo
deve ser paralelo a
. Da condição de paralelismo vem
. Portanto
para todo
, isto é,
, contra a hipótese.
Passo 5
Chegamos a uma contradição com a suposição de que
. Logo
não é identicamente zero, ou seja, existe algum
tal que
Isso implica que
e
são linearmente independentes.
Resposta
Existe
em
tal que
, logo
e
são LI.