Seja T um operador do \mathbb{R}^{2} tal que T \neq k I d para todo k \in \mathbb{R}. Mostre que existe w tal que w \mathrm{e} (T(w)-w) são LI.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que não é da forma T=k\,\mathrm{Id} para nenhum k\in\mathbb{R}. Precisamos mostrar que existe um vetor w\neq0 tal que \{w,\;T(w)-w\} seja um conjunto de vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Em \mathbb{R}^2 dois vetores são LI exatamente quando o determinante formado por eles é não nulo.

Passo 2

Definimos a aplicação
\varphi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\qquad \varphi(w)=\det\bigl(w,\;T(w)-w\bigr).
Note que \varphi(w)=0 se e somente se w e T(w)-w forem LD. Nosso objetivo é provar que \varphi não é a função identicamente zero, pois então haveria w com \varphi(w)\neq0.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que \varphi(w)=0 para todo w. Então
\det\bigl(w,\;T(w)-w\bigr)=0 \quad\forall w,
o que implica que T(w)-w é sempre múltiplo de w. Logo existe uma função escalar \lambda:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
T(w)-w=\lambda(w)\,w \quad\Longrightarrow\quad T(w)=(\lambda(w)+1)\,w.
Isto significa que qualquer vetor w é autovetor de T.

Passo 4

Como T é linear, os autovalores em diferentes direções não podem variar. Seja \{e_1,e_2\} a base canônica. Então
T(e_1)=a\,e_1, \quad T(e_2)=b\,e_2.
No entanto, e_1+e_2 também é autovetor, logo
T(e_1+e_2)=a\,e_1+b\,e_2
deve ser paralelo a e_1+e_2. Da condição de paralelismo vem a=b. Portanto T(ae_1+be_2)=a(ae_1+be_2) para todo a,b, isto é, T=a\,\mathrm{Id}, contra a hipótese.

Passo 5

Chegamos a uma contradição com a suposição de que \varphi\equiv0. Logo \varphi não é identicamente zero, ou seja, existe algum w\in\mathbb{R}^2 tal que
\varphi(w)=\det\bigl(w,\;T(w)-w\bigr)\neq0.
Isso implica que w e T(w)-w são linearmente independentes.

Resposta

Existe w\neq0 em \mathbb{R}^2 tal que \det(w,\,T(w)-w)\neq0, logo w e T(w)-w são LI.

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