A expressão:
define um produto interno em
?
Passo 1
O enunciado pergunta se a aplicação
em
satisfaz as três propriedades de um produto interno: (i) bilinearidade em cada argumento, (ii) simetria e (iii) positividade definida.
Passo 2
Verificando a bilinearidade em relação ao primeiro argumento: para um escalar
e matrizes
temos
enquanto
Como
em geral, não temos
. Logo falha a linearidade.
Passo 3
Verificando a simetria:
Portanto esta condição até é satisfeita.
Passo 4
Verificando a positividade definida: precisa-se ter
para todo
. Mas
e podemos escolher
tal que
(por exemplo
dá
). Logo a positividade falha.
Resposta
Não. A aplicação
não é um produto interno em
porque não satisfaz bilinearidade nem positividade definida.