A expressão: \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}(A+B) define um produto interno em M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ?

Passo 1

O enunciado pergunta se a aplicação
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A+B)
em M_{2\times2}(\mathbb{R}) satisfaz as três propriedades de um produto interno: (i) bilinearidade em cada argumento, (ii) simetria e (iii) positividade definida.

Passo 2

Verificando a bilinearidade em relação ao primeiro argumento: para um escalar \alpha e matrizes A,B temos
\langle \alpha A, B\rangle = \operatorname{tr}(\alpha A + B) = \alpha\,\operatorname{tr}(A) + \operatorname{tr}(B),
enquanto
\alpha\langle A,B\rangle = \alpha\,\operatorname{tr}(A+B) = \alpha\,\bigl(\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)\bigr).
Como \alpha\,\operatorname{tr}(B)\neq \operatorname{tr}(B) em geral, não temos \langle \alpha A,B\rangle = \alpha\langle A,B\rangle. Logo falha a linearidade.

Passo 3

Verificando a simetria:
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A+B) = \operatorname{tr}(B+A) = \langle B,A\rangle.
Portanto esta condição até é satisfeita.

Passo 4

Verificando a positividade definida: precisa-se ter \langle A,A\rangle>0 para todo A\neq0. Mas
\langle A,A\rangle = \operatorname{tr}(2A) = 2\,\operatorname{tr}(A),
e podemos escolher A\neq0 tal que \operatorname{tr}(A)\le0 (por exemplo A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} \langle A,A\rangle=0). Logo a positividade falha.

Resposta

Não. A aplicação \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A+B) não é um produto interno em M_{2\times2}(\mathbb{R}) porque não satisfaz bilinearidade nem positividade definida.

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