Considere o espaço das sequências em
, denotado por
. Lembramos que os elementos deste espaço vetorial são as sequências
com as operações
Neste espaço vetorial mostre que
a) O mapa
dado por
é uma transformação linear injetora, mas que não é sobrejetora.
Observação: O que ocorre neste exercício é que o espaço das sequências não é um espaço vetorial finitamente gerado, ou seja, não tem dimensão finita. Logo as equivalências entre transformações lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras que são válidas para transformações lineares
quando
tem dimensão finita, não são verdadeiras nestes espaços.
a) O mapa
Passo 1
O enunciado pede para analisar a transformação linear
O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaços de dimensão infinita. Vamos usar a definição de linearidade, injetividade (kernel trivial) e sobrejetividade (imagem igual ao contradomínio).
Passo 2
Mostramos que
é linear verificando aditividade e homogeneidade. Dados
e
em
e
, temos
e
Logo
. Analogamente,
Assim,
é linear.
Passo 3
Para ver que
é injetora, consideramos o kernel:
Da igualdade de coordenadas segue
. Logo
é a única solução e
. Portanto,
é injetora.
Passo 4
Para ver que
não é sobrejetora, basta notar que toda imagem
tem primeira coordenada zero. Mas por exemplo o vetor
não está em
, pois se existisse
com
então a primeira coordenada de
seria zero, contradizendo
. Assim,
não é sobrejetora.