Considere o espaço das sequências em F, denotado por F^N. Lembramos que os elementos deste espaço vetorial são as sequências xnn in N=(x1, x2, ldots) ; xi in F com as operações
(x1, x2, x3, ldots)+(y1, y2, y3, ldots)=(x1+y1, x2+y2, x3+y3, ldots) lambda(x1, x2, x3, ldots)=(lambda x1, lambda x2, lambda x3, ldots)
Neste espaço vetorial mostre que
a) O mapa T: F^N F^N dado por T(x1, x2, ldots)=(0, x1, x2, ldots) é uma transformação linear injetora, mas que não é sobrejetora.
Observação: O que ocorre neste exercício é que o espaço das sequências não é um espaço vetorial finitamente gerado, ou seja, não tem dimensão finita. Logo as equivalências entre transformações lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras que são válidas para transformações lineares T: V V quando V tem dimensão finita, não são verdadeiras nestes espaços.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a transformação linear
Tcolon F^Nto F^N, Tl((x1,x2,x3,dots)r) = (0,,x1,,x2,dots)
O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaços de dimensão infinita. Vamos usar a definição de linearidade, injetividade (kernel trivial) e sobrejetividade (imagem igual ao contradomínio).

Passo 2

Mostramos que T é linear verificando aditividade e homogeneidade. Dados
x=(x1,x2,dots) e y=(y1,y2,dots) em F^N e lambdainF, temos
T(x+y) = Tl((x1+y1,,x2+y2,dots)r) = l(0,,x1+y1,,x2+y2,dotsr)
e
T(x) + T(y) = (0,,x1,,x2,dots) + (0,,y1,,y2,dots) = l(0,,x1+y1,,x2+y2,dotsr)
Logo T(x+y)=T(x)+T(y). Analogamente,
T(lambdax) = Tl((lambda x1,lambda x2,dots)r) = (0,,lambda x1,,lambda x2,dots) = lambda,(0,,x1,,x2,dots) = lambda,T(x)
Assim, T é linear.

Passo 3

Para ver que T é injetora, consideramos o kernel:
T(x) = 0 ;Longrightarrow; (0,,x1,,x2,dots) = (0,0,0,dots)
Da igualdade de coordenadas segue x1=0,;x2=0,dots. Logo x=0 é a única solução e ker T=0. Portanto, T é injetora.

Passo 4

Para ver que T não é sobrejetora, basta notar que toda imagem T(x) tem primeira coordenada zero. Mas por exemplo o vetor
e = (1,0,0,dots)
não está em Im T, pois se existisse x com T(x)=e então a primeira coordenada de T(x) seria zero, contradizendo e1=1. Assim, T não é sobrejetora.

Resposta

T é transformação linear, injetora e não sobrejetora.

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