Seja F in L(P3(R), R) a transformação dada por
F(g(t))=integral0^1 g(t) d t
Determine a matriz de F em relação às bases canônicas desses espaços.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
F: P3(R) to R,
dada por
Fl(g(t)r)=integral0^1g(t),dt
Queremos a matriz de F nas bases canônicas: em P3(R) a base é
1,,t,,t^2,,t^3
e em R a base é 1.

Passo 2

Lembrando que, para uma transformação linear T:Vto W, a matriz em bases B=(v1,dots,vn) de V e C=(w1,dots,wm) de W tem colunas
[T]C,B(:,j) =l[T(vj)r]C
Aqui m=1 e n=4, logo teremos uma linha e quatro colunas, onde cada coluna é simplesmente o escalar F aplicado ao vetor-polinômio 1,,t,,t^2,,t^3.

Passo 3

Calculamos F em cada vetor da base de P3(R):
F(1)=integral0^11,dt=1,
F(t)=integral0^1t,dt=12,
F(t^2)=integral0^1t^2,dt=13,
F(t^3)=integral0^1t^3,dt=14

Passo 4

Cada valor acima é a coordenada de Fl(cdotr) na base 1 de R. Assim, a matriz de F é o vetor-linha com essas entradas.

Resposta

[F]1,1,t,t^2,t^3 = 1 & tfrac12 & tfrac13 & tfrac14

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