Determine a matriz do operador derivação em P3(R) em relação à base canônica desse espaço.

Passo 1

O enunciado pede a matriz do operador linear de derivação
Dcolon P3(R)to P3(R), Dl(p(x)r)=p'(x)
em relação à base canônica
l1,;x,;x^2,;x^3r
Para resolver, vamos (i) aplicar D a cada vetor da base, (ii) escrever o resultado em coordenadas nessa mesma base e (iii) montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores da base:
D(1)=0, D(x)=1, D(x^2)=2x, D(x^3)=3x^2

Passo 3

Expressar cada imagem como combinação linear da base 1,x,x^2,x^3:
D(1)=0=0cdot1+0cdot x+0cdot x^2+0cdot x^3 Longrightarrow coluna 1=0000,
D(x)=1=1cdot1+0cdot x+0cdot x^2+0cdot x^3 Longrightarrow coluna 2=1000,
D(x^2)=2x=0cdot1+2cdot x+0cdot x^2+0cdot x^3 Longrightarrow coluna 3=0200,
D(x^3)=3x^2=0cdot1+0cdot x+3cdot x^2+0cdot x^3 Longrightarrow coluna 4=0030

Passo 4

Montar a matriz de D na base canônica colocando essas colunas em ordem:
[D]1,x,x^2,x^3 = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0

Resposta

0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0

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