Determinar o operador F do R^2 cuja matriz em relação à base (1,1),(1,2) é
[F]=[ll 1 & 0 1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede o operador linear FcolonR^2toR^2 cuja matriz em relação à base \r
b1,b2=(1,1),(1,2) é\r
[F]B=1 & 01 & 2 \r
Para encontrar F no sistema canônico, vamos usar a interpretação das colunas de [F]B como coordenadas de F(b1) e F(b2) na própria base B, depois expressar um vetor genérico (x,y) em coordenadas de B e aplicar linearidade.

Passo 2

Chamando \r
b1=(1,1), b2=(1,2), \r
a primeira coluna de [F]B diz que\r
F(b1)=1cdot b1 + 1cdot b2, \r
e a segunda coluna diz que\r
F(b2)=0cdot b1 + 2cdot b2 \r
Logo \r
F(b1)=b1+b2=(1,1)+(1,2)=(2,3), F(b2)=2,b2=2,(1,2)=(2,4)

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y) escrevemos\r
(x,y)=alpha,b1 + beta,b2 \r
e obtemos o sistema\r
alpha + beta = x, alpha + 2beta = y \r
Resolvendo, achamos \r
beta = y - x, alpha = 2x - y

Passo 4

Pela linearidade de F temos\r
F(x,y)=alpha,F(b1)+beta,F(b2) \r
Substituindo alpha=2x-y, beta=y-x, F(b1)=(2,3) e F(b2)=(2,4),\r
F(x,y) =(2x - y)(2,3)+(y - x)(2,4) \r
Calculando componente a componente,\r
F(x,y) =l((2x - y),2 + (y - x),2,;(2x - y),3 + (y - x),4r) =(2x,;2x+y)

Resposta

O operador F no sistema canônico é\r
F(x,y) = (2x,;2x + y)

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