Considere o espaço das sequências em
, denotado por
. Lembramos que os elementos deste espaço vetorial são as sequências
com as operações
Neste espaço vetorial mostre que
b) O mapa
dado por
é uma transformação linear sobrejetora, mas que não é injetora.
Observação: O que ocorre neste exercício é que o espaço das sequências não é um espaço vetorial finitamente gerado, ou seja, não tem dimensão finita. Logo as equivalências entre transformações lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras que são válidas para transformações lineares
quando
tem dimensão finita, não são verdadeiras nestes espaços.
b) O mapa
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial das sequências sobre o corpo
, denotado por
, e da aplicação
O objetivo é mostrar que
é linear, que é sobrejetora (todo vetor de saída tem um pré-imagem) e que não é injetora (existe vetor não-nulo que vai para zero). Para isso, vamos usar as definições de transformação linear, de sobrejetividade e de injetividade.
Passo 2
Verificamos a linearidade de
. Sejam
e
. Então
e por outro lado
Logo
. Analogamente,
Portanto
é linear.
Passo 3
Mostramos que
é sobrejetora. Tome uma sequência arbitrária
Basta encontrar
com
. Defina por exemplo
Então
Como essa construção vale para todo
,
é sobrejetora.
Passo 4
Mostramos que
não é injetora. Basta exibir um vetor não-nulo que vá para o vetor nulo. Considere
Então
ou seja
e
. Logo
, e
não é injetora.