Considere o espaço das sequências em F, denotado por F^N. Lembramos que os elementos deste espaço vetorial são as sequências xnn in N=(x1, x2, ldots) ; xi in F com as operações
(x1, x2, x3, ldots)+(y1, y2, y3, ldots)=(x1+y1, x2+y2, x3+y3, ldots) lambda(x1, x2, x3, ldots)=(lambda x1, lambda x2, lambda x3, ldots)
Neste espaço vetorial mostre que
b) O mapa T: F^N F^N dado por T(x1, x2, ldots)=(x2, x3, ldots) é uma transformação linear sobrejetora, mas que não é injetora.
Observação: O que ocorre neste exercício é que o espaço das sequências não é um espaço vetorial finitamente gerado, ou seja, não tem dimensão finita. Logo as equivalências entre transformações lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras que são válidas para transformações lineares T: V V quando V tem dimensão finita, não são verdadeiras nestes espaços.

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial das sequências sobre o corpo F, denotado por F^N, e da aplicação
T:F^NtoF^N, Tl(x1,x2,x3,dotsr)=l(x2,x3,x4,dotsr)
O objetivo é mostrar que T é linear, que é sobrejetora (todo vetor de saída tem um pré-imagem) e que não é injetora (existe vetor não-nulo que vai para zero). Para isso, vamos usar as definições de transformação linear, de sobrejetividade e de injetividade.

Passo 2

Verificamos a linearidade de T. Sejam
u=(u1,u2,u3,dots), v=(v1,v2,v3,dots)
e lambdainF. Então
T(u+v) =Tl(u1+v1,,u2+v2,,u3+v3,dotsr) =l(u2+v2,,u3+v3,dotsr)
e por outro lado
T(u)+T(v) =(u2,u3,dots)+(v2,v3,dots) =(u2+v2,,u3+v3,dots)
Logo T(u+v)=T(u)+T(v). Analogamente,
T(lambda u) =Tl(lambda u1,lambda u2,dotsr) =(lambda u2,lambda u3,dots) =lambda,(u2,u3,dots) =lambda,T(u)
Portanto T é linear.

Passo 3

Mostramos que T é sobrejetora. Tome uma sequência arbitrária
y=(y1,y2,y3,dots)in F^N
Basta encontrar xinF^N com T(x)=y. Defina por exemplo
x=(0,,y1,,y2,,y3,dots)
Então
T(x) =(y1,y2,y3,dots) =y
Como essa construção vale para todo y, T é sobrejetora.

Passo 4

Mostramos que T não é injetora. Basta exibir um vetor não-nulo que vá para o vetor nulo. Considere
e^(1)=(1,0,0,0,dots)
Então
Tl(e^(1)r) =T(1,0,0,0,dots) =(0,0,0,0,dots),
ou seja e^(1)neq0 e T(e^(1))=0. Logo ker Tneq0, e T não é injetora.

Resposta

T é transformação linear e sobrejetora, mas não é injetora.

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