Considere o espaço das sequências em F, denotado por F^N. Lembramos que os elementos deste espaço vetorial são as sequências xnn in N=(x1, x2, ldots) ; xi in F com as operações
(x1, x2, x3, ldots)+(y1, y2, y3, ldots)=(x1+y1, x2+y2, x3+y3, ldots) lambda(x1, x2, x3, ldots)=(lambda x1, lambda x2, lambda x3, ldots)
Neste espaço vetorial mostre que
c) Encontre uma transformação linear T: F[x] F^N injetora, em que F[x], também denotado por P(F), são os polinômios com coeficientes em F.
Observação: O que ocorre neste exercício é que o espaço das sequências não é um espaço vetorial finitamente gerado, ou seja, não tem dimensão finita. Logo as equivalências entre transformações lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras que são válidas para transformações lineares T: V V quando V tem dimensão finita, não são verdadeiras nestes espaços.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos uma transformação linear injetora
Tcolon F[x]to F^N
onde F[x] é o espaço dos polinômios sobre F e F^N é o espaço de todas as sequências em F. Vamos usar o fato de que cada polinômio pode ser escrito pelos seus coeficientes.

Passo 2

Definimos T de modo que cada polinômio
p(x)=a0+a1x+a2x^2+cdots+anx^n
seja enviado para a sequência dos seus coeficientes, completada com zeros a partir de um índice:
Tl(p(x)r) = l(a0,,a1,,a2,,dots,an,0,0,0,dotsr)

Passo 3

Verificamos que T é linear. De fato, para p,qinF[x] e lambdainF:
T(p+q) = (dots,ai+bi,dots) = (ai,dots)+(bi,dots) = T(p)+T(q),
T(lambda p) = (dots,lambda ai,dots) = lambda,(ai,dots) = lambda,T(p)

Passo 4

Mostramos que T é injetora. Se T(p)=0 então todos os coeficientes ai são zero, logo
p(x)=0
Portanto ker T=0, o que garante a injetividade.

Resposta

Definimos
Tcolon F[x]to F^N, Tl(sumi=0^n ai x^ir) = (a0,,a1,,a2,,dots,an,0,0,dots)
Esse T é linear e injetora.

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