Considere o espaço das sequências em
, denotado por
. Lembramos que os elementos deste espaço vetorial são as sequências
com as operações
Neste espaço vetorial mostre que
c) Encontre uma transformação linear
injetora, em que
, também denotado por
, são os polinômios com coeficientes em
.
Observação: O que ocorre neste exercício é que o espaço das sequências não é um espaço vetorial finitamente gerado, ou seja, não tem dimensão finita. Logo as equivalências entre transformações lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras que são válidas para transformações lineares
quando
tem dimensão finita, não são verdadeiras nestes espaços.
c) Encontre uma transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para construirmos uma transformação linear injetora
onde
é o espaço dos polinômios sobre
e
é o espaço de todas as sequências em
. Vamos usar o fato de que cada polinômio pode ser escrito pelos seus coeficientes.
Passo 2
Definimos
de modo que cada polinômio
seja enviado para a sequência dos seus coeficientes, completada com zeros a partir de um índice:
Passo 3
Verificamos que
é linear. De fato, para
e
:
Passo 4
Mostramos que
é injetora. Se
então todos os coeficientes
são zero, logo
Portanto
, o que garante a injetividade.
Resposta
Definimos
Esse
é linear e injetora.