Dado
um espaço vetorial sobre
, seja
uma transformação linear que satisfaz
, ou seja, é tal que para todo
vale
, então:
a) Mostre que
b) Usando
, mostre que
.
c) Mostre que
. Portanto
.
a) Mostre que
b) Usando
c) Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
é uma transformação linear idempotente, isto é, satisfaz
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, em especial núcleos, imagens e decomposição de espaço em soma direta. Vamos usar as definições
e
para mostrar:
a) .
b) usando a decomposição
.
c) , concluindo
.
para mostrar:
a)
b)
c)
Passo 2
Provar que
. Como
é linear,
Mas pela idempotência
. Logo
isto é,
.
Passo 3
Mostrar que
. Para todo
escrevemos
Pelo Passo 2,
, e claramente
. Assim cada
é soma de um vetor em
e um vetor em
, o que implica
Passo 4
Provar que
. Seja
. Então
-
implica que existe com . -
implica .
Aplicandoa e usando idempotência,
Logo
, mostrando que a interseção é trivial. Portanto