Dado V um espaço vetorial sobre F, seja F: V V uma transformação linear que satisfaz F^2=F, ou seja, é tal que para todo v in V vale F(F(v))=F(v), então:
a) Mostre que v-F(v) in Ker(F)
b) Usando v=v-F(v)+F(v), mostre que V=Ker(F)+Im(F).
c) Mostre que Ker(F) cap Im(F)=0. Portanto V=Ker(F) oplus Im(F).

Passo 1

O enunciado diz que F:Vto V é uma transformação linear idempotente, isto é, satisfaz
F(F(v))=F(v)para todo vin V
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, em especial núcleos, imagens e decomposição de espaço em soma direta. Vamos usar as definições
ker(F)=win Vmid F(w)=0 e Im(F)=F(u)mid uin V
para mostrar:
a) v-F(v)inker(F).
b) V=ker(F)+Im(F) usando a decomposição v=(v-F(v))+F(v).
c) ker(F)capIm(F)=0, concluindo V=ker(F)oplusIm(F).

Passo 2

Provar que v-F(v)inker(F). Como F é linear,
Fl(v-F(v)r)=F(v)-Fl(F(v)r)
Mas pela idempotência F(F(v))=F(v). Logo
F(v)-Fl(F(v)r)=F(v)-F(v)=0,
isto é, v-F(v)inker(F).

Passo 3

Mostrar que V=ker(F)+Im(F). Para todo vin V escrevemos
v=l(v-F(v)r)+F(v)
Pelo Passo 2, v-F(v)inker(F), e claramente F(v)inIm(F). Assim cada v é soma de um vetor em ker(F) e um vetor em Im(F), o que implica
V=ker(F)+Im(F)

Passo 4

Provar que ker(F)capIm(F)=0. Seja winker(F)capIm(F). Então
  1. winIm(F) implica que existe uin V com w=F(u).
  2. winker(F) implica F(w)=0.
    Aplicando F a w=F(u) e usando idempotência,
0=F(w)=Fl(F(u)r)=F(u)=w
Logo w=0, mostrando que a interseção é trivial. Portanto
V=ker(F)oplusIm(F)

Resposta

V = ker(F)oplus Im(F).

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