Considere o espaço vetorial R^2.
Mostre que as funções abaixo não definem uma norma em R^2.
iii. ||(x, y)||3=|x|+|y|+2 raiz|x||y|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função $ ||(x, y)||_{3} = |x| + |y| + 2 \sqrt{|x||y|} $ não define uma norma no espaço vetorial ||(x, y)||3 = |x| + |y| + 2 raiz|x||y| . Para isso, vamos lembrar quais são as propriedades que uma norma precisa satisfazer e verificar se essa função atende a todas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as três propriedades fundamentais que uma norma deve cumprir:
  1. Positividade: Para todo vetor $ v $, $ ||v|| \geq 0 $ e $ ||v|| = 0 $ se e somente se $ v $ for o vetor nulo.
  2. Homogeneidade: Para todo escalar $ \alpha $ e vetor $ v $, $ ||\alpha v|| = |\alpha| \cdot ||v|| $.
  3. Desigualdade Triangular: Para todos os vetores $ u $ e $ v $, $ ||u + v|| \leq ||u|| + ||v|| $.
Vamos ver se a função $ ||\cdot||_{3} $ respeita essas propriedades.

Passo 3

Positividade: Vamos conferir. Como estamos somando valores absolutos e uma raiz quadrada, todos os termos são não negativos. Além disso, se $ x = 0 $ e $ y = 0 $, então $ ||(0, 0)||{3} = 0 $. E se $ ||(x, y)||{3} = 0 $, necessariamente $ x = 0 $ e $ y = 0 $. Então, essa propriedade está ok.
Homogeneidade: Vamos testar com um escalar. Se pegarmos $ \alpha $ e multiplicarmos o vetor, temos:
x = 0
Então, a homogeneidade também está satisfeita.
Desigualdade Triangular: Esse é o ponto crítico. Vamos ver se a função respeita $ ||u + v||{3} \leq ||u||{3} + ||v||_{3} $.
Vamos escolher um exemplo específico para testar. Considere os vetores $ u = (1, 0) $ e $ v = (0, 1) $.
Calculando:
y = 0
||(0, 0)||3 = 0
Agora, somando os vetores:
||(x, y)||3 = 0
Calculando a norma dessa soma:
x = 0
Agora, somando as normas individuais:
y = 0
Mas temos que $ ||(1,1)||_{3} = 4 > 2 $, o que viola a desigualdade triangular.

Resposta

Como a desigualdade triangular não é satisfeita para os vetores $ (1, 0) $ e $ (0, 1) $, a função $ ||(x, y)||_{3} = |x| + |y| + 2 \sqrt{|x||y|} $ não define uma norma em (1, 0) .

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