Considere o espaço vetorial
e a aplicação
, definida por
(a) Mostre que
é um produto interno em
(b) Determine todos os polinômios
que são ortogonais a
com relação ao produto interno definido no item acima (denotamos tal conjunto de complemento ortogonal de
).
(c) A partir da base
de
obtenha uma base ortonormal para
.
(b) Determine todos os polinômios
(c) A partir da base
Passo 1
Estamos trabalhando em V = P₁, o espaço dos polinômios de grau ≤ 1, e o produto interno definido por
Passo 2
Para simetria e bilinearidade, note que para quaisquer p,q,r ∈ P₁ e α∈ℝ vale
(simetria), e
(linearidade no 1º argumento).
Passo 3
Para positividade definida, para todo p ∈ P₁:
E se
então p(0)=p(1)=0, o que força p(x)≡0. Logo é positivo-definido.
Passo 4
Para achar o complemento ortogonal de p(x)=1+x, tome q(x)=ax+b e imponha
Assim os q que satisfazem 2a+3b=0 formam o complemento ortogonal. Equivalente a
com
, ou seja
.
Passo 5
Aplicando Gram–Schmidt em B={1,x}:
- Defina u₁=1, então
- Projete x sobre u₁:
. Então u₂=x−½ e
Resposta
(a) Mostra-se que
é simétrico, bilinear e positivo-definido, logo é produto interno. (b) O complemento ortogonal de
é
(c) Uma base ortonormal obtida é
.