Considere o espaço vetorial V=P1 e a aplicação <,>: P1 times P1 R, definida por
<p, q>=p(0) q(0)+p(1) q(1)
(a) Mostre que <,> é um produto interno em P1
(b) Determine todos os polinômios q(x) in P1 que são ortogonais a p(x)=1+x com relação ao produto interno definido no item acima (denotamos tal conjunto de complemento ortogonal de p(x) ).
(c) A partir da base B=1, x de P1 obtenha uma base ortonormal para P1.

Passo 1

Estamos trabalhando em V = P₁, o espaço dos polinômios de grau ≤ 1, e o produto interno definido por

Passo 2

Para simetria e bilinearidade, note que para quaisquer p,q,r ∈ P₁ e α∈ℝ vale
lang<= p,qrang<= = p(0)q(0)+p(1)q(1) = q(0)p(0)+q(1)p(1) = lang<= q,prang<= (simetria), e
lang<= αp+ r,qrang<= = (αp+ r)(0)q(0)+(αp+ r)(1)q(1) = α[p(0)q(0)+p(1)q(1)] + [r(0)q(0)+r(1)q(1)] = αlang<= p,qrang<= + lang<= r,qrang<= (linearidade no 1º argumento).

Passo 3

Para positividade definida, para todo p ∈ P₁:
lang<= p,prang<= = p(0)^2 + p(1)^2 >= 0
E se lang<= p,prang<= =0 então p(0)=p(1)=0, o que força p(x)≡0. Logo é positivo-definido.

Passo 4

Para achar o complemento ortogonal de p(x)=1+x, tome q(x)=ax+b e imponha
lang<= 1+x,ax+brang<= = (1+x)(0)·(ax+b)(0) + (1+x)(1)·(ax+b)(1) = b + 2(a+b)=2a+3b=0
Assim os q que satisfazem 2a+3b=0 formam o complemento ortogonal. Equivalente a q(x)=a x + b com a=-tfrac32 b, ou seja span3x-2.

Passo 5

Aplicando Gram–Schmidt em B={1,x}:
  1. Defina u₁=1, então
|u₁|^2=lang<=1,1rang<==2, e₁=u₁|u₁|=1raiz2
  1. Projete x sobre u₁: proju₁x=lang<= x,1rang<=lang<=1,1rang<=·1=12. Então u₂=x−½ e
|u₂|^2=lang<= x-tfrac12,x-tfrac12rang<==tfrac14+tfrac14=tfrac12, e₂=u₂|u₂|=raiz2l(x-tfrac12r)

Resposta

(a) Mostra-se que lang<= p,qrang<= é simétrico, bilinear e positivo-definido, logo é produto interno. (b) O complemento ortogonal de 1+x é q(x)=ax+b:2a+3b=0=span3x-2 (c) Uma base ortonormal obtida é 1/raiz2,,raiz2,x-raiz2/2.

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