Para quais valore de a a matriz M=[ll1 & a 0 & 1] é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = 1 & a [6pt]0 & 1
e pede para quais valores de a ela é diagonalizável. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes, que exige que a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores seja igual à dimensão da matriz.]

Passo 2

Determinar os autovalores de M a partir do polinômio característico. Temos
det(M - lambda I) = det1-lambda & a [3pt]0 & 1-lambda = (1-lambda)^2
Logo, o único autovalor é lambda = 1 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Calcular o espaço próprio associado a lambda=1 resolvendo (M - I)v = 0. Escrevendo
M - I = 1-1 & a [3pt]0 & 1-1 = 0 & a [3pt]0 & 0,
procuramos v = (x,y) tal que
0 & a [3pt]0 & 0 x[3pt]y = 0[3pt]0,
o que gera a equação a,y = 0.]

Passo 4

Analisar a dimensão do espaço próprio conforme a:
Se a = 0, a equação 0cdot y = 0 é trivial, então x e y são livres e a dimensão do espaço próprio é 2.
Se a neq 0, a equação impõe y = 0, ficando x livre, e a dimensão do espaço próprio é 1.

Passo 5

Concluir a diagonalizabilidade: uma matriz 2times2 com único autovalor lambda=1 é diagonalizável somente se a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica (isto é, 2). Isso ocorre apenas quando a = 0.

Resposta

A matriz M é diagonalizável somente para a = 0.

Exercícios relacionados