Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O problema pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço de
. Vamos usar a definição de subespaço: mostrar que
não está vazio, que é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, observamos que
não é vazio pois podemos escolher
e
(e quaisquer
). Isso nos dá
que é o vetor nulo em
. Logo,
.
Passo 3
Agora, seja
e
. Queremos mostrar que
. Note que
Como a definição de
permite quaisquer dois vetores, basta reescrever essa soma como
do qual vemos que é um elemento de
(com
,
,
,
). Portanto,
é fechado sob soma.
Passo 4
Finalmente, para a multiplicação por escalar, seja
e
. Então
que também está em
pois é da forma
com
e
.
Passo 5
Como
contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.
Resposta
O conjunto W satisfaz os três critérios (não vazio, fechado em soma e fechado em escalar), logo W é um subespaço vetorial de
.