Mostre que o conjunto W=alpha v+beta u mid u, v in R^n, alpha, beta in R é um subespaço vetorial de R^n.

Passo 1

O problema pede para mostrar que o conjunto
W=alpha v+beta u mid u,vinR^n,,alpha,betainR é um subespaço de R^n. Vamos usar a definição de subespaço: mostrar que W não está vazio, que é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, observamos que W não é vazio pois podemos escolher alpha=0 e beta=0 (e quaisquer u,v). Isso nos dá
0cdot v + 0cdot u = 0,
que é o vetor nulo em R^n. Logo, 0in W.

Passo 3

Agora, seja
w1=alpha1 v1+beta1 u1in W e
w2=alpha2 v2+beta2 u2in W. Queremos mostrar que
w1+w2in W. Note que
w1+w2=alpha1 v1+beta1 u1+alpha2 v2+beta2 u2
Como a definição de W permite quaisquer dois vetores, basta reescrever essa soma como
w1+w2 = 1cdot(w1) + 1cdot(w2),
do qual vemos que é um elemento de W (com v'=w1, u'=w2, alpha'=1, beta'=1). Portanto, W é fechado sob soma.

Passo 4

Finalmente, para a multiplicação por escalar, seja
tinR e
w=alpha v+beta uin W. Então
tw = t(alpha v+beta u) = (talpha),v + (tbeta),u,
que também está em W pois é da forma alpha'v+beta'u com alpha'=talpha e beta'=tbeta.

Passo 5

Como W contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W é de fato um subespaço de R^n.

Resposta

O conjunto W satisfaz os três critérios (não vazio, fechado em soma e fechado em escalar), logo W é um subespaço vetorial de R^n.

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