Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{2} com p.i \langle\cdot, \cdot\rangle e calcular a norma de \omega \in \mathbb{R}^{2} em cada caso:
\langle u, v\rangle=2 u_{1} v_{1}+25 u_{2} v_{2} ; w=(1,1). Calcule \|w\|= ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Produto interno em \mathbb{R}^2: \langle u,v\rangle = 2\,u_{1}v_{1} + 25\,u_{2}v_{2}.
  • Vetor w=(1,1) (ou seja, w_{1}=1 e w_{2}=1).
    A pergunta é: calcular a norma de w, isto é \lVert w\rVert = ?.

Passo 2

Lembrete/definição essencial (fórmula que vou usar): a norma induzida por um produto interno é dada por
\lVert v\rVert = \sqrt{\langle v,v\rangle}.
Aqui v é um vetor genérico com componentes v_{1},v_{2}. A ideia é primeiro calcular \langle w,w\rangle e depois tirar a raiz quadrada.

Passo 3

Calcular \langle w,w\rangle substituindo w_{1}=1 e w_{2}=1 na expressão do produto interno:
\langle w,w\rangle = 2\cdot w_{1}\cdot w_{1} + 25\cdot w_{2}\cdot w_{2}.
Substituindo os valores:
\langle w,w\rangle = 2\cdot 1\cdot 1 + 25\cdot 1\cdot 1 = 2 + 25 = 27.

Passo 4

Agora a norma é a raiz quadrada de 27:
\lVert w\rVert = \sqrt{27}.
Simplificando a raiz extraindo fator quadrado:
\sqrt{27} = \sqrt{9\cdot 3} = 3\sqrt{3}.

Passo 5

Comentário útil para a prova (aplicação prática): para um vetor genérico v=(v_{1},v_{2}) neste produto interno a norma é
\lVert v\rVert = \sqrt{2\,v_{1}^{2} + 25\,v_{2}^{2}},
ou seja, basta usar a mesma rotina: calcule \langle v,v\rangle e tire raiz quadrada. Força aí — essa conta é direta e cai bastante em prova!

Resposta

3\sqrt{3}

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