Dado: um segmento (vamos chamar os extremos de A e B). Ou seja, existe o segmento \overline{AB}.
Pedido: construir a mediatriz desse segmento (a mediatriz é a reta que corta o segmento ao meio e forma um ângulo reto com ele).
Ferramentas permitidas (assuma-as): régua sem marcações (apenas para traçar retas) e compasso.
Passo 2
Desenhe o segmento inicial.
Marque dois pontos distintos no papel e chame-os de A e B.
Una-os com a régua traçando o segmento \overline{AB}. Agora já temos o segmento que vamos bissetar.
Passo 3
Escolha a abertura do compasso.
Abra o compasso com uma medida r tal que r>\tfrac{1}{2}\,AB. Em palavras: escolha um raio um pouco maior que a metade do comprimento do segmento \overline{AB}.
Por que isso? Para garantir que arcos com centro em A e em B se cruzem em dois pontos diferentes (um acima do segmento e outro abaixo). Se r fosse menor ou igual à metade, os arcos poderiam não se encontrar.
Passo 4
Desenhe os arcos a partir de A e de B.
Com o compasso centrado em A e abertura r, trace um arco que corte a região acima e a região abaixo do segmento — faça um arco amplo, de modo que haja espaço para outra interseção.
Sem mudar a abertura r, coloque a ponta do compasso em B e trace um arco do mesmo tipo. Os dois arcos (o traçado a partir de A e o traçado a partir de B) devem se cruzar em dois pontos distintos. Chame esses pontos de P (o de cima) e Q (o de baixo).
Passo 5
Trace a mediatriz.
Use a régua para traçar a reta que passa por P e Q. Essa reta é a mediatriz do segmento \overline{AB}.
Denote essa reta por \overline{PQ}.
Passo 6
Explique por que \overline{PQ} é realmente a mediatriz (a ideia por trás da construção).
Pelo modo como os arcos foram feitos temos AP=BP e AQ=BQ, porque ambos foram gerados com a mesma abertura r.
Assim, P e Q são pontos equidistantes de A e B.
Teorema (intuitivo/elementar): a reta determinada por dois pontos que são ambos equidistantes de A e B é a mediatriz de \overline{AB}. Ou seja, a reta \overline{PQ} corta \overline{AB} no seu ponto médio e é perpendicular a \overline{AB}.
Uma maneira prática de ver isso no desenho: a interseção M=\overline{PQ}\cap\overline{AB} é tal que AM=MB. Pode-se verificar com o compasso medindo AM e MB; as medidas coincidirão.
Passo 7
Como checar e algumas dicas para a prova
Verificação rápida: com o compasso, coloque a ponta em A e ajuste para o ponto M; em seguida sem mudar a abertura verifique se a ponta em B também alcança M. Se sim, M é o ponto médio.
Dica prática: sempre garanta que a abertura r seja claramente maior que metade de AB — isso evita falha de interseção. Faça arcos bem visíveis e use régua para traçar \overline{PQ} com firmeza.
Raciocínio curto que vale na prova: pontos de interseção dos arcos são equidistantes de A e B → reta por esses pontos é locus dos pontos equidistantes → é a mediatriz.
Resposta
\overline{PQ} é a mediatriz de \overline{AB}; ela é perpendicular a \overline{AB} e passa pelo ponto médio M=\overline{PQ}\cap\overline{AB}.