Desenhe um segmento e construa sua mediatriz.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Dado: um segmento (vamos chamar os extremos de A e B). Ou seja, existe o segmento \overline{AB}.
  • Pedido: construir a mediatriz desse segmento (a mediatriz é a reta que corta o segmento ao meio e forma um ângulo reto com ele).
  • Ferramentas permitidas (assuma-as): régua sem marcações (apenas para traçar retas) e compasso.

Passo 2

Desenhe o segmento inicial.
  • Marque dois pontos distintos no papel e chame-os de A e B.
  • Una-os com a régua traçando o segmento \overline{AB}. Agora já temos o segmento que vamos bissetar.

Passo 3

Escolha a abertura do compasso.
  • Abra o compasso com uma medida r tal que r>\tfrac{1}{2}\,AB. Em palavras: escolha um raio um pouco maior que a metade do comprimento do segmento \overline{AB}.
  • Por que isso? Para garantir que arcos com centro em A e em B se cruzem em dois pontos diferentes (um acima do segmento e outro abaixo). Se r fosse menor ou igual à metade, os arcos poderiam não se encontrar.

Passo 4

Desenhe os arcos a partir de A e de B.
  • Com o compasso centrado em A e abertura r, trace um arco que corte a região acima e a região abaixo do segmento — faça um arco amplo, de modo que haja espaço para outra interseção.
  • Sem mudar a abertura r, coloque a ponta do compasso em B e trace um arco do mesmo tipo. Os dois arcos (o traçado a partir de A e o traçado a partir de B) devem se cruzar em dois pontos distintos. Chame esses pontos de P (o de cima) e Q (o de baixo).

Passo 5

Trace a mediatriz.
  • Use a régua para traçar a reta que passa por P e Q. Essa reta é a mediatriz do segmento \overline{AB}.
  • Denote essa reta por \overline{PQ}.

Passo 6

Explique por que \overline{PQ} é realmente a mediatriz (a ideia por trás da construção).
  • Pelo modo como os arcos foram feitos temos AP=BP e AQ=BQ, porque ambos foram gerados com a mesma abertura r.
  • Assim, P e Q são pontos equidistantes de A e B.
  • Teorema (intuitivo/elementar): a reta determinada por dois pontos que são ambos equidistantes de A e B é a mediatriz de \overline{AB}. Ou seja, a reta \overline{PQ} corta \overline{AB} no seu ponto médio e é perpendicular a \overline{AB}.
  • Uma maneira prática de ver isso no desenho: a interseção M=\overline{PQ}\cap\overline{AB} é tal que AM=MB. Pode-se verificar com o compasso medindo AM e MB; as medidas coincidirão.

Passo 7

Como checar e algumas dicas para a prova
  • Verificação rápida: com o compasso, coloque a ponta em A e ajuste para o ponto M; em seguida sem mudar a abertura verifique se a ponta em B também alcança M. Se sim, M é o ponto médio.
  • Dica prática: sempre garanta que a abertura r seja claramente maior que metade de AB — isso evita falha de interseção. Faça arcos bem visíveis e use régua para traçar \overline{PQ} com firmeza.
  • Raciocínio curto que vale na prova: pontos de interseção dos arcos são equidistantes de A e B → reta por esses pontos é locus dos pontos equidistantes → é a mediatriz.

Resposta

\overline{PQ} é a mediatriz de \overline{AB}; ela é perpendicular a \overline{AB} e passa pelo ponto médio M=\overline{PQ}\cap\overline{AB}.

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