Desenhe um ângulo
de vértice
e um segmento
e construa o arco capaz de
sobre
.
Passo 1
O enunciado dá duas coisas: (i) um ângulo
desenhado com vértice
(ou seja, tem-se a medida geométrica do ângulo
disponível para copiar) e (ii) um segmento
. O que se pede: construir o arco capaz de
sobre
, isto é, o conjunto de pontos
tais que
. Listando as informações relevantes:
- Dados: o ângulo
(vértice em ) e o segmento com extremos e . - Pedido: desenhar o(s) arco(s) capaz(is) de
sobre o segmento — os pontos de onde é visto sob o ângulo .
Passo 2
Idéia-chave (sem ainda fazer passos de régua/compasso): se
é um ponto tal que
, então, no triângulo
, as duas outras ângulos somam
. Se escolhermos um ponto
tal que
, então cada um desses ângulos vale
. Em particular, se a construção garante
, então automaticamente
. Vamos usar isso para construir
: construir em
um raio que faz com
o ângulo
, e em
um raio análogo; a intersecção desses raios dá um ponto
do arco capaz. Depois, a circunferência com centro em
e raio
passa por
e
, e o arco entre
e
dessa circunferência é o arco capaz procurado. A seguir faço a construção passo a passo (cada operação com régua e compasso é detalhada).
Passo 3
Passo prático 1 — bisetar o ângulo
:
- Com régua e compasso, pegue o ângulo
no vértice . - Marque dois pontos quaisquer, um em cada lado do ângulo, ambos à mesma distância do vértice
. - Com compasso, a partir desses dois pontos faça arcos iguais que se cruzem; ligue o vértice
à interseção desses arcos. Essa reta é a bissetriz de , ou seja, dá o ângulo . - Resultado: tem-se um segmento/ray que representa o ângulo
. Guardaremos esse ângulo para copiar depois.
Explicação didática: bissetar um ângulo significa dividir em duas partes iguais; isso é feito encontrando interseção de arcos com compasso e ligando ao vértice — procedimento padrão.
Passo 4
Passo prático 2 — construir a perpendicular a
em
(para obter um referencial de
):
- Com compasso, faça um arco centrado em
que corte a reta em dois pontos simétricos em relação a (um para cada lado). - Com o compasso, a partir desses dois pontos trace dois arcos iguais que se intersectem do lado oposto de
. - Una
com a interseção desses arcos: essa é a perpendicular a passando por . Em termos de ângulo, essa reta faz com um ângulo de em .
Breve explicação: isso é a construção clássica da perpendicular por um ponto da reta usando compasso; o ângulo entre essa perpendicular e
vale
.
Passo 5
Passo prático 3 — obter o ângulo
em
:
- Pegue a bissetriz do
que construiu no passo 3; essa bissetriz fornece o ângulo (como um par de semirretas). - Agora vamos copiar esse ângulo
para usar em relação à perpendicular construída em : no ponto , tome como uma das semirretas a perpendicular a que fizemos no passo 4; copie o ângulo a partir dessa perpendicular em direção a . Ou seja, construa uma semirreta com vértice em tal que o ângulo entre a perpendicular (a partir de ) e seja igual a . - Então o ângulo entre
e a reta será . Nomeie essa semirreta .
Como copiar ângulo com compasso: escolha um arco que corte os dois lados do ângulo original, reproduza o mesmo arco no novo vértice e marque a interseção dos arcos auxiliares, unindo obtém-se a cópia do ângulo.
Passo 6
Passo prático 4 — repetir em
(construir a semirreta
):
- Do mesmo modo que em
: construa a perpendicular a em . - Copie o ângulo
a partir dessa perpendicular em direção à reta , obtendo a semirreta com vértice em tal que o ângulo entre e é .
Observação didática: agora temos duas semirretas
e
construídas de forma simétrica; a interseção delas será um ponto
dentro do semi-plano escolhido.
Passo 7
Passo prático 5 — encontrar
e verificar a propriedade angular:
- Trace as semirretas
e ; marque sua interseção (sejam cuidadoso com o lado do segmento onde se quer o arco). - Em seguida observe o triângulo
. Pelas construções temos Assim, somando os ângulos do triângulo, - Portanto
é um ponto do arco capaz: .
Explicação didática: esse cálculo mostra por que escolhemos exatamente o ângulo
nas semirretas de
e
: garantir baseis iguais faz com que o ângulo no vértice oposto seja
.
Passo 8
Passo prático 6 — desenhar a circunferência que passa por
e
com centro em
(opcional, para obter o arco completo):
- Com compasso, meça a distância
(ou ; devem ser iguais por construção). - Com centro em
e raio trace a circunferência; ela passa por e . O arco dessa circunferência que tem extremos e e contido no semi-plano onde está é o arco capaz de nessa posição (lado escolhido). - Se quiser o arco do outro lado de
, repita a construção dos passos 4–7 escolhendo as semirretas no outro semi-plano (isto é, copie o ângulo na direção oposta em relação à perpendicular em e em ); obtém-se outro ponto simétrico e a outra circunferência/ arco.
Comentário: em geral existem dois arcos (“um acima” e “um abaixo” de
), exceto em casos degenerados (por exemplo
ou
, que não fazem sentido para arco capaz normal).
Passo 9
Resumo prático curinga (passo-a-passo que podes seguir rápido na prova):
- Biseta
para obter . - Em
: faça a perpendicular a e copie a partir dessa perpendicular em direção a ; obtenha . - Em
: mesma coisa para obter . - Interseção
satisfaz . - Desenhe a circunferência de centro
e raio ; o arco entre e é o arco capaz. Repita do outro lado para o segundo arco se necessário.
Passo 10
Observações finais e dicas para a prova:
- A razão por trás da construção é usar a igualdade de ângulos na base do triângulo
: fazer simplifica os cálculos angulares. - Operações necessárias (bissetriz, copiar ângulo, perpendicular) são todas clássicas com régua e compasso e valem pontos independentes num roteiro de prova: desenhe com calma e marque interseções claramente.
- Se for pedido só o locus, escreva que é o conjunto de pontos das duas circunferências (arcos) que passam por
e e cujos pontos satisfazem .
Resposta
Os arcos (um de cada lado de
) das circunferências que passam por
e
cujos pontos
satisfazem
.