Desenhe um ângulo \theta de vértice V e um segmento A B e construa o arco capaz de \theta sobre A B.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas: (i) um ângulo \theta desenhado com vértice V (ou seja, tem-se a medida geométrica do ângulo \theta disponível para copiar) e (ii) um segmento AB. O que se pede: construir o arco capaz de \theta sobre AB, isto é, o conjunto de pontos P tais que \angle APB=\theta. Listando as informações relevantes:
  • Dados: o ângulo \theta (vértice em V) e o segmento com extremos A e B.
  • Pedido: desenhar o(s) arco(s) capaz(is) de \theta sobre o segmento AB — os pontos de onde AB é visto sob o ângulo \theta.

Passo 2

Idéia-chave (sem ainda fazer passos de régua/compasso): se P é um ponto tal que \angle APB=\theta, então, no triângulo PAB, as duas outras ângulos somam 180^\circ-\theta. Se escolhermos um ponto P tal que \angle PAB=\angle PBA, então cada um desses ângulos vale (180^\circ-\theta)/2. Em particular, se a construção garante \angle PAB=\angle PBA=90^\circ-\theta/2, então automaticamente \angle APB=\theta. Vamos usar isso para construir P: construir em A um raio que faz com AB o ângulo 90^\circ-\theta/2, e em B um raio análogo; a intersecção desses raios dá um ponto P do arco capaz. Depois, a circunferência com centro em P e raio PA passa por A e B, e o arco entre A e B dessa circunferência é o arco capaz procurado. A seguir faço a construção passo a passo (cada operação com régua e compasso é detalhada).

Passo 3

Passo prático 1 — bisetar o ângulo \theta:
  • Com régua e compasso, pegue o ângulo \theta no vértice V.
  • Marque dois pontos quaisquer, um em cada lado do ângulo, ambos à mesma distância do vértice V.
  • Com compasso, a partir desses dois pontos faça arcos iguais que se cruzem; ligue o vértice V à interseção desses arcos. Essa reta é a bissetriz de \theta, ou seja, dá o ângulo \theta/2.
  • Resultado: tem-se um segmento/ray que representa o ângulo \theta/2. Guardaremos esse ângulo para copiar depois.
Explicação didática: bissetar um ângulo significa dividir em duas partes iguais; isso é feito encontrando interseção de arcos com compasso e ligando ao vértice — procedimento padrão.

Passo 4

Passo prático 2 — construir a perpendicular a AB em A (para obter um referencial de 90^\circ):
  • Com compasso, faça um arco centrado em A que corte a reta AB em dois pontos simétricos em relação a A (um para cada lado).
  • Com o compasso, a partir desses dois pontos trace dois arcos iguais que se intersectem do lado oposto de AB.
  • Una A com a interseção desses arcos: essa é a perpendicular a AB passando por A. Em termos de ângulo, essa reta faz com AB um ângulo de 90^\circ em A.
Breve explicação: isso é a construção clássica da perpendicular por um ponto da reta usando compasso; o ângulo entre essa perpendicular e AB vale 90^\circ.

Passo 5

Passo prático 3 — obter o ângulo \alpha = 90^\circ-\theta/2 em A:
  • Pegue a bissetriz do \theta que construiu no passo 3; essa bissetriz fornece o ângulo \theta/2 (como um par de semirretas).
  • Agora vamos copiar esse ângulo \theta/2 para usar em relação à perpendicular construída em A: no ponto A, tome como uma das semirretas a perpendicular a AB que fizemos no passo 4; copie o ângulo \theta/2 a partir dessa perpendicular em direção a AB. Ou seja, construa uma semirreta r_A com vértice em A tal que o ângulo entre a perpendicular (a partir de A) e r_A seja igual a \theta/2.
  • Então o ângulo entre r_A e a reta AB será (90^\circ-\theta/2). Nomeie essa semirreta r_A.
Como copiar ângulo com compasso: escolha um arco que corte os dois lados do ângulo original, reproduza o mesmo arco no novo vértice e marque a interseção dos arcos auxiliares, unindo obtém-se a cópia do ângulo.

Passo 6

Passo prático 4 — repetir em B (construir a semirreta r_B):
  • Do mesmo modo que em A: construa a perpendicular a AB em B.
  • Copie o ângulo \theta/2 a partir dessa perpendicular em direção à reta AB, obtendo a semirreta r_B com vértice em B tal que o ângulo entre r_B e AB é 90^\circ-\theta/2.
Observação didática: agora temos duas semirretas r_A e r_B construídas de forma simétrica; a interseção delas será um ponto P dentro do semi-plano escolhido.

Passo 7

Passo prático 5 — encontrar P e verificar a propriedade angular:
  • Trace as semirretas r_A e r_B; marque sua interseção P=r_A\cap r_B (sejam cuidadoso com o lado do segmento AB onde se quer o arco).
  • Em seguida observe o triângulo PAB. Pelas construções temos \angle PAB=\angle PBA=90^\circ-\frac{\theta}{2}.Assim, somando os ângulos do triângulo, \angle APB = 180^\circ - \angle PAB - \angle PBA = 180^\circ - 2\left(90^\circ-\frac{\theta}{2}\right) = \theta.
  • Portanto P é um ponto do arco capaz: \angle APB=\theta.
Explicação didática: esse cálculo mostra por que escolhemos exatamente o ângulo 90^\circ-\theta/2 nas semirretas de A e B: garantir baseis iguais faz com que o ângulo no vértice oposto seja \theta.

Passo 8

Passo prático 6 — desenhar a circunferência que passa por A e B com centro em O (opcional, para obter o arco completo):
  • Com compasso, meça a distância PA (ou PB; devem ser iguais por construção).
  • Com centro em P e raio PA trace a circunferência; ela passa por A e B. O arco dessa circunferência que tem extremos A e B e contido no semi-plano onde está P é o arco capaz de \theta nessa posição (lado escolhido).
  • Se quiser o arco do outro lado de AB, repita a construção dos passos 4–7 escolhendo as semirretas no outro semi-plano (isto é, copie o ângulo \theta/2 na direção oposta em relação à perpendicular em A e em B); obtém-se outro ponto P' simétrico e a outra circunferência/ arco.
Comentário: em geral existem dois arcos (“um acima” e “um abaixo” de AB), exceto em casos degenerados (por exemplo \theta=0 ou \theta=180^\circ, que não fazem sentido para arco capaz normal).

Passo 9

Resumo prático curinga (passo-a-passo que podes seguir rápido na prova):
  1. Biseta \theta para obter \theta/2.
  2. Em A: faça a perpendicular a AB e copie \theta/2 a partir dessa perpendicular em direção a AB; obtenha r_A.
  3. Em B: mesma coisa para obter r_B.
  4. Interseção P=r_A\cap r_B satisfaz \angle APB=\theta.
  5. Desenhe a circunferência de centro P e raio PA; o arco entre A e B é o arco capaz. Repita do outro lado para o segundo arco se necessário.

Passo 10

Observações finais e dicas para a prova:
  • A razão por trás da construção é usar a igualdade de ângulos na base do triângulo PAB: fazer \angle PAB=\angle PBA simplifica os cálculos angulares.
  • Operações necessárias (bissetriz, copiar ângulo, perpendicular) são todas clássicas com régua e compasso e valem pontos independentes num roteiro de prova: desenhe com calma e marque interseções claramente.
  • Se for pedido só o locus, escreva que é o conjunto de pontos das duas circunferências (arcos) que passam por A e B e cujos pontos P satisfazem \angle APB=\theta.

Resposta

Os arcos (um de cada lado de AB) das circunferências que passam por A e B cujos pontos P satisfazem \angle APB=\theta.

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