Verificar que (\mathbb{R}^{3},\langle\cdot, \cdot\rangle) e (M(2, \mathbb{R}) ;\langle\cdot, \cdot\rangle) são espaços com p.i.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar que os dois pares dados são espaços com produto interno (p.i.). Ou seja, para cada um devo checar as propriedades que definem um produto interno: simetria, linearidade (bilinearidade, no caso real) e positividade definida.
Informações relevantes que vou usar (assumidas como as usuais quando não foi explicitado):
  • No espaço \mathbb{R}^{3} consideramos o produto interno usual (produto escalar) definido por
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3},
para x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}) em \mathbb{R}^{3}.
  • No espaço M(2,\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais) consideramos o produto interno dado pela soma do produto das entradas (produto de Frobenius), que também pode ser escrito usando traço:
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B)=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij}b_{ij},
onde A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) em M(2,\mathbb{R}).

Passo 2

Definição do que preciso provar (relembrando as propriedades, para espaço real):
  • (P1) Simetria: \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle para todos u,v.
  • (P2) Linearidade na primeira coordenada (equivalente aqui a bilinearidade pois o escalar é real): para quaisquer vetores u,v,w e escalares \alpha,\beta,
\langle \alpha u + \beta v, w\rangle = \alpha\langle u,w\rangle + \beta\langle v,w\rangle.
  • (P3) Positividade definida: \langle v,v\rangle \ge 0 para todo v, e \langle v,v\rangle=0 se e somente se v é o vetor zero (no caso das matrizes: a matriz zero).
Vou checar essas três propriedades primeiro para \mathbb{R}^{3}, depois para M(2,\mathbb{R}).

Passo 3

Verificação em \mathbb{R}^{3} com \langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
  • Simetria (P1). Para x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}),
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3} = y_{1}x_{1}+y_{2}x_{2}+y_{3}x_{3} = \langle y,x\rangle.
Portanto é simétrico.
  • Linearidade (P2). Tomemos escalares \alpha,\beta e vetores x,y,z. Seja u=\alpha x+\beta y. Então
\langle u,z\rangle = \langle \alpha x+\beta y, z\rangle = (\alpha x_{1}+\beta y_{1})z_{1}+(\alpha x_{2}+\beta y_{2})z_{2}+(\alpha x_{3}+\beta y_{3})z_{3}.
Agrupando termos:
\langle u,z\rangle = \alpha(x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3})+\beta(y_{1}z_{1}+y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3}) = \alpha\langle x,z\rangle + \beta\langle y,z\rangle.
Assim a linearidade em combinação de vetores é verificada.
  • Positividade definida (P3). Para x=(x_{1},x_{2},x_{3}),
\langle x,x\rangle = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}.
Essa soma de quadrados é sempre \ge 0. Além disso, \langle x,x\rangle = 0 implica x_{1}^{2}=x_{2}^{2}=x_{3}^{2}=0, logo x_{1}=x_{2}=x_{3}=0, ou seja x é o vetor zero. E claramente se x é o vetor zero então \langle x,x\rangle=0. Portanto a positividade definida vale.
Conclusão parcial: todas as três propriedades são verificadas em \mathbb{R}^{3} com o produto escalar usual; logo (\mathbb{R}^{3},\langle\cdot,\cdot\rangle) é um espaço com produto interno.

Passo 4

Verificação em M(2,\mathbb{R}) com \langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B)=\sum_{i,j} a_{ij}b_{ij}.
  • Simetria (P1). Para A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}),
\langle A,B\rangle = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij}b_{ij} = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} b_{ij}a_{ij} = \langle B,A\rangle.
Também pode-se ver isso pelo fato de \operatorname{tr}(A^{T}B)=\operatorname{tr}(B^{T}A).
  • Linearidade (P2). Tomemos escalares \alpha,\beta e matrizes A,B,C. Seja U=\alpha A+\beta B. Então usando a expressão por entradas,
\langle U,C\rangle = \sum_{i,j} (\alpha a_{ij}+\beta b_{ij}) c_{ij} = \alpha \sum_{i,j} a_{ij}c_{ij} + \beta \sum_{i,j} b_{ij}c_{ij} = \alpha\langle A,C\rangle + \beta\langle B,C\rangle.
Logo a linearidade (bilinearidade) vale.
  • Positividade definida (P3). Para A=(a_{ij}),
\langle A,A\rangle = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij}^{2} = a_{11}^{2}+a_{12}^{2}+a_{21}^{2}+a_{22}^{2}.
Essa soma de quadrados é \ge 0. Se \langle A,A\rangle = 0 então cada a_{ij}^{2}=0, logo todos os a_{ij}=0 e A é a matriz zero. O recíproco também é claro: a matriz zero dá soma zero. Portanto a positividade definida ocorre.
Observação: a expressão \langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B) é exatamente a definição do produto de Frobenius nas matrizes; é análoga ao produto escalar em \mathbb{R}^{4} se pensarmos em uma matriz 2\times2 como um vetor de 4 entradas.
Conclusão parcial: as três propriedades são verificadas em M(2,\mathbb{R}) com o produto \langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^{T}B); portanto (M(2,\mathbb{R}),\langle\cdot,\cdot\rangle) é um espaço com produto interno.

Passo 5

Resumo final e intuição rápida:
  • Em \mathbb{R}^{3} o produto interno é a soma dos produtos das componentes; verificar as propriedades é manipular somas e usar que quadrados são não-negativos.
  • Em M(2,\mathbb{R}) o produto interno é a soma dos produtos das entradas (ou traço de A^{T}B); as mesmas ideias (combinando entradas) provam as propriedades.
Se quiser, dá para praticar: pegue x=(1,2,3) e y=(4,0,-1) e calcule \langle x,y\rangle; pegue também
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
e calcule \langle A,B\rangle para ver na prática as fórmulas que usamos — é só multiplicar entradas e somar.

Resposta

Sim. \,(\mathbb{R}^{3},\langle\cdot,\cdot\rangle)\, é um espaço com p.i. com \langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.\newline
Sim. \,(M(2,\mathbb{R}),\langle\cdot,\cdot\rangle)\, é um espaço com p.i. com \langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B)=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}.

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