Considere o espaço vetorial \mathbb{M}_{2 \times 2} com a base canônica, isto é,
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
Usando a ideia do exercício (14), defina um produto interno para este espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina um produto interno em \mathbb{M}_{2 \times 2} usando a base canônica
B=\Bigl\{E_{11},\,E_{12},\,E_{21},\,E_{22}\Bigr\},
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Para isso, vamos usar a ideia de transportar o produto interno canônico de \mathbb{R}^4 (o “dot product”) para as coordenadas dos 4 coeficientes de qualquer matriz em relação a B.

Passo 2

Sejam
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad C=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}.
Em relação à base B,
A = a_{11}E_{11} + a_{12}E_{12} + a_{21}E_{21} + a_{22}E_{22},
C = c_{11}E_{11} + c_{12}E_{12} + c_{21}E_{21} + c_{22}E_{22}.
No espaço \mathbb{R}^4, o produto interno canônico é
(a_1,a_2,a_3,a_4)\cdot (c_1,c_2,c_3,c_4) = a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3 + a_4c_4.
Basta então usar esses coeficientes (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}) e (c_{11},c_{12},c_{21},c_{22}).

Passo 3

Definimos, para quaisquer A,C\in\mathbb{M}_{2\times2},
\langle A, C\rangle = a_{11}c_{11} \;+\; a_{12}c_{12} \;+\; a_{21}c_{21} \;+\; a_{22}c_{22}.
Em notação matricial, isso equivale a
\langle A, C\rangle = \mathrm{tr}\bigl(A^{T}C\bigr),
pois \mathrm{tr}(A^{T}C)=\sum_{i,j}a_{ij}c_{ij}.

Passo 4

Verificação rápida das propriedades de produto interno:
  1. Simetria: \langle A,C\rangle = \langle C,A\rangle.
  2. Bilinearidade: é linear em cada argumento por soma e escalar.
  3. Positividade definida: \langle A,A\rangle = a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2\ge0, e igual a zero só se todos os a_{ij}=0.

Resposta

O produto interno em \mathbb{M}_{2\times2} é
\langle A, C\rangle = a_{11}c_{11} + a_{12}c_{12} + a_{21}c_{21} + a_{22}c_{22},
equivalente a \mathrm{tr}(A^{T}C).

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