Considere o espaço vetorial
com a base canônica, isto é,
Usando a ideia do exercício (14), defina um produto interno para este espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede que a gente defina um produto interno em
usando a base canônica
onde
Para isso, vamos usar a ideia de transportar o produto interno canônico de
(o “dot product”) para as coordenadas dos 4 coeficientes de qualquer matriz em relação a
.
Passo 2
Sejam
Em relação à base
,
No espaço
, o produto interno canônico é
Basta então usar esses coeficientes
e
.
Passo 3
Definimos, para quaisquer
,
Em notação matricial, isso equivale a
pois
.
Passo 4
Verificação rápida das propriedades de produto interno:
- Simetria:
. - Bilinearidade: é linear em cada argumento por soma e escalar.
- Positividade definida:
, e igual a zero só se todos os .
Resposta
O produto interno em
é
equivalente a
.