Questão 6: Considere o sistema A x=b onde
A=\left(\begin{array}{ccc} 10 & -1 & 4 \\\\ 1 & 10 & 9 \\\\ 2 & -3 & -10 \end{array}\right) ; \quad x=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right) ; \quad b=\left(\begin{array}{c} 5 \\\\ 2 \\\\ 9 \end{array}\right)
É possível resolver este sistema pelo método de Gauss-Jacobi? Se sim, realize três iterações deste método. E pelo método de Gauss-Seidel?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x = b com
A = \begin{pmatrix} 10 & -1 & 4 \\\\ 1 & 10 & 9 \\\\ 2 & -3 & -10 \end{pmatrix},\quad x = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}5\\\ 2\\\ 9\end{pmatrix},
pede para verificar se podemos usar Gauss–Jacobi e, em caso afirmativo, fazer três iterações, e depois aplicar Gauss–Seidel. O conteúdo aqui é de métodos iterativos para resolver sistemas lineares.

Passo 2

Verificamos a dominância diagonal de A:
– Na linha 1: \lvert10\rvert > \lvert{-1}\rvert + \lvert4\rvert =5.
– Na linha 2: \lvert10\rvert = \lvert1\rvert + \lvert9\rvert =10.
– Na linha 3: \lvert{-10}\rvert > \lvert2\rvert + \lvert{-3}\rvert =5.
Como há dominância diagonal (estrita na linhas 1 e 3, e não estrita na 2), o método de Gauss–Jacobi tende a convergir, logo é possível usar Gauss–Jacobi.

Passo 3

Para Gauss–Jacobi isolamos cada variável em função das outras na iteração anterior. A partir de
\begin{cases} 10x_{1} - x_{2} + 4x_{3} = 5,\\\ x_{1} +10x_{2} +9x_{3} = 2,\\\\ 2x_{1} -3x_{2} -10x_{3} = 9, \end{cases}
temos as fórmulas
x_{1}^{(k+1)} = \frac{5 + x_{2}^{(k)} - 4\,x_{3}^{(k)}}{10},\quad x_{2}^{(k+1)} = \frac{2 - x_{1}^{(k)} - 9\,x_{3}^{(k)}}{10},\quad x_{3}^{(k+1)} = \frac{-9 + 2\,x_{1}^{(k)} - 3\,x_{2}^{(k)}}{10}.
Escolhemos o palpite inicial x^{(0)} = (0,0,0)^{T}.

Passo 4

Calculamos três iterações de Gauss–Jacobi:
k=1:
x_{1}^{(1)} = \tfrac{5+0-0}{10}=0{,}5,\quad x_{2}^{(1)} = \tfrac{2-0-0}{10}=0{,}2,\quad x_{3}^{(1)} = \tfrac{-9+0-0}{10}=-0{,}9.
k=2:
x_{1}^{(2)} = \tfrac{5+0{,}2-4(-0{,}9)}{10} =0{,}88,\quad x_{2}^{(2)} = \tfrac{2-0{,}5-9(-0{,}9)}{10} =0{,}96,\quad x_{3}^{(2)} = \tfrac{-9+2(0{,}5)-3(0{,}2)}{10} =-0{,}86.
k=3:
x_{1}^{(3)} = \tfrac{5+0{,}96-4(-0{,}86)}{10} =0{,}94,\quad x_{2}^{(3)} = \tfrac{2-0{,}88-9(-0{,}86)}{10} =0{,}886,\quad x_{3}^{(3)} = \tfrac{-9+2(0{,}88)-3(0{,}96)}{10} =-1{,}012.

Passo 5

Para Gauss–Seidel usamos as mesmas fórmulas, mas atualizamos cada componente imediatamente dentro da iteração. Mantemos x^{(0)}=(0,0,0)^{T}.

Passo 6

Três iterações de Gauss–Seidel:
k=1:
x_{1}^{(1)} = \tfrac{5+0-0}{10}=0{,}5,\quad x_{2}^{(1)} = \tfrac{2-0{,}5-9\cdot0}{10}=0{,}15,\quad x_{3}^{(1)} = \tfrac{-9+2(0{,}5)-3(0{,}15)}{10}=-0{,}845.
k=2:
x_{1}^{(2)} = \tfrac{5+0{,}15-4(-0{,}845)}{10}=0{,}853,\quad x_{2}^{(2)} = \tfrac{2-0{,}853-9(-0{,}845)}{10}=0{,}8752,\quad x_{3}^{(2)} = \tfrac{-9+2(0{,}853)-3(0{,}8752)}{10}=-0{,}99196.
k=3:
x_{1}^{(3)} = \tfrac{5+0{,}8752-4(-0{,}99196)}{10}=0{,}984304,\quad x_{2}^{(3)} = \tfrac{2-0{,}984304-9(-0{,}99196)}{10}=0{,}9943336,
x_{3}^{(3)} = \tfrac{-9+2(0{,}984304)-3(0{,}9943336)}{10}=-1{,}0014393.

Resposta

É possível usar Gauss–Jacobi. Após três iterações obtemos
x^{(3)}_{\text{Jacobi}}\approx \begin{pmatrix}0{,}94\\\ 0{,}886\\\ -1{,}012\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad x^{(3)}_{\text{GS}}\approx \begin{pmatrix}0{,}9843\\\ 0{,}9943\\\ -1{,}0014\end{pmatrix}.

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