Verificar se o conjunto B=\{(1,1,0),(-3,0,-15)\} é base para um subespaço do \mathbb{R}^{3}, descreva o espaço.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
B = \{(1,1,0),\;(-3,0,-15)\}
em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se ele é uma base de algum subespaço de \mathbb{R}^3 e descrevê-lo. Vamos usar a definição de base (conjunto gerador e linearmente independente) e, em seguida, caracterizar o espaço como o span de B e também em forma implícita.
Da segunda equação vem c_{1}=0. Da terceira vem c_{2}=0. Logo, só existe a combinação trivial, e os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Como os dois vetores de B são linearmente independentes e vivem em \mathbb{R}^3, eles formam uma base de seu próprio span, que é um subespaço de dimensão 2. Assim,