Verificar se o conjunto B=\{(1,1,0),(-3,0,-15)\} é base para um subespaço do \mathbb{R}^{3}, descreva o espaço.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
B = \{(1,1,0),\;(-3,0,-15)\}
em \mathbb{R}^3 e pede para verificar se ele é uma base de algum subespaço de \mathbb{R}^3 e descrevê-lo. Vamos usar a definição de base (conjunto gerador e linearmente independente) e, em seguida, caracterizar o espaço como o span de B e também em forma implícita.

Passo 2

Para checar a independência linear, consideramos
c_{1}(1,1,0) + c_{2}(-3,0,-15) = (0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} c_{1} - 3c_{2} = 0,\\\ c_{1} = 0,\\\\ -15c_{2} = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem c_{1}=0. Da terceira vem c_{2}=0. Logo, só existe a combinação trivial, e os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como os dois vetores de B são linearmente independentes e vivem em \mathbb{R}^3, eles formam uma base de seu próprio span, que é um subespaço de dimensão 2. Assim,
W = \mathrm{span}(B)
é um plano em \mathbb{R}^3 e B é base de W.

Passo 4

Em forma paramétrica, todo vetor de W é
(a,b) \mapsto a\,(1,1,0) + b\,(-3,0,-15) = (\,a-3b,\;a,\;-15b\,),
com a,b\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para achar a equação implícita do plano, renomeamos a = y. Então x = y - 3b e z = -15b. Da primeira equação isolamos
b = \frac{y - x}{3},
e substituímos em z:
z = -15\,\frac{y - x}{3} = -5(y - x) = 5x - 5y.
Reescrevendo em forma de equação do plano, temos
5x - 5y - z = 0.

Resposta

Sim, B é base do subespaço
W = \mathrm{span}(B) = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 5x - 5y - z = 0\}.

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