Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}, verifique se
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; y=4 x \text { e } z=0\right\}
é um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{3}, relativo às operações de adição e multiplicação por

escalar usuais. PONTUAÇÃO: 0,5

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbb{R}^{3} e o subconjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=4x \text{ e } z=0\}.
O que se pede: verificar se S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Informações relevantes fornecidas:
  • Todo vetor em S tem a forma (x,4x,0) para algum x\in\mathbb{R}.
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^3 com adição vetorial usual e multiplicação por escalar usual.

Passo 2

Definição e ideias básicas (explicadas devagarinho).
  • Dizemos que um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se três propriedades forem satisfeitas:
    1. W não é vazio (em particular costuma-se verificar se o vetor zero (0,0,0) pertence a W).
    2. Fechamento por adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
    3. Fechamento por multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
  • Explicando as operações usuais em \mathbb{R}^3:
    • Para u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2), u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
    • Para escalar c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z), c\,u=(c x,\; c y,\; c z).
  • Explicação intuitiva: um subespaço deve ser fechado em relação a combinar vetores (adição) e a esticá-los/encolhê-los (multiplicação por escalar). Também precisa conter o vetor nulo, porque 0\cdot u=(0,0,0) para qualquer u.

Passo 3

Verificar que S contém o vetor zero.
  • Tomando x=0 na descrição (x,4x,0) obtemos (0,0,0).
  • Logo (0,0,0)\in S, então S não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificar fechamento por adição (passo a passo).
  • Pegue dois vetores arbitrários em S. Pelas condições do enunciado, existe x_1,x_2\in\mathbb{R} tais que u=(x_1,4x_1,0),\qquad v=(x_2,4x_2,0).
  • Some u e v usando a fórmula da adição: u+v=(x_1+x_2,\; 4x_1+4x_2,\; 0+0).
  • Fatorando 4 no segundo componente: u+v=(x_1+x_2,\; 4(x_1+x_2),\; 0).
  • Este resultado tem exatamente a mesma forma (x,4x,0) com x=x_1+x_2. Portanto u+v\in S.
  • Conclusão: S é fechado por adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo).
  • Pegue um vetor arbitrário em S, u=(x,4x,0), e um escalar c\in\mathbb{R}.
  • Calcule c\,u usando a fórmula da multiplicação por escalar: c\,u=(c x,\; c\cdot 4x,\; c\cdot 0)=(c x,\; 4(c x),\; 0).
  • O vetor c\,u tem a forma (x',4x',0) com x'=c x, logo c\,u\in S.
  • Conclusão: S é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 6

Resumo final e observação adicional útil para a prova.
  • Já verificamos as três propriedades exigidas: S contém o vetor zero, é fechado por soma e é fechado por multiplicação por escalar. Logo S é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
  • Observação extra (forma prática): todo vetor de S escreve-se como (x,4x,0)=x\,(1,4,0).Isso mostra que S=\mathrm{span}\{(1,4,0)\}, ou seja, S é a reta através da origem gerada pelo vetor (1,4,0). Em particular, S tem dimensão 1.

Resposta

Sim. S é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3; adicionalmente S=\mathrm{span}\{(1,4,0)\}.

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