Considere o espaço vetorial
, verifique se
é um subespaço vetorial do
, relativo às operações de adição e multiplicação por
escalar usuais. PONTUAÇÃO: 0,5
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
O que se pede: verificar se
é um subespaço vetorial de
relativamente às operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Informações relevantes fornecidas:
- Todo vetor em
tem a forma para algum . - O espaço ambiente é
com adição vetorial usual e multiplicação por escalar usual.
Passo 2
Definição e ideias básicas (explicadas devagarinho).
- Dizemos que um subconjunto
é subespaço vetorial se três propriedades forem satisfeitas: -
não é vazio (em particular costuma-se verificar se o vetor zero pertence a ). - Fechamento por adição: se
e então . - Fechamento por multiplicação por escalar: se
e então .
-
- Explicando as operações usuais em
: - Para
e , - Para escalar
e ,
- Para
- Explicação intuitiva: um subespaço deve ser fechado em relação a combinar vetores (adição) e a esticá-los/encolhê-los (multiplicação por escalar). Também precisa conter o vetor nulo, porque
para qualquer .
Passo 3
Verificar que
contém o vetor zero.
- Tomando
na descrição obtemos . - Logo
, então não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 4
Verificar fechamento por adição (passo a passo).
- Pegue dois vetores arbitrários em
. Pelas condições do enunciado, existe tais que - Some
e usando a fórmula da adição: - Fatorando
no segundo componente: - Este resultado tem exatamente a mesma forma
com . Portanto . - Conclusão:
é fechado por adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação por escalar (passo a passo).
- Pegue um vetor arbitrário em
, , e um escalar . - Calcule
usando a fórmula da multiplicação por escalar: - O vetor
tem a forma com , logo . - Conclusão:
é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 6
Resumo final e observação adicional útil para a prova.
- Já verificamos as três propriedades exigidas:
contém o vetor zero, é fechado por soma e é fechado por multiplicação por escalar. Logo é subespaço vetorial de . - Observação extra (forma prática): todo vetor de
escreve-se como Isso mostra que , ou seja, é a reta através da origem gerada pelo vetor . Em particular, tem dimensão .
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
; adicionalmente
.