- (3 Pontos)
a) Considere uma esfera de raio
cortada ao meio, com seus hemisférios unidos por uma película isolante de espessura desprezível. Sejam
e
os potenciais elétricos do hemisfério esquerdo e direito, respectivamente. Calcule o potencial elétrico criado pela esfera a uma distância r do centro da esfera, para pontos exteriores à esfera;
b) Refaça o ítem a, considerando pontos interiores da esfera (
);
c) Calcule a contribuição de quadrupólo para o potencial elétrico de tal distribuição, considerando pontos exteriores à esfera;
a) Considere uma esfera de raio
b) Refaça o ítem a, considerando pontos interiores da esfera (
c) Calcule a contribuição de quadrupólo para o potencial elétrico de tal distribuição, considerando pontos exteriores à esfera;
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
dividida em dois hemisférios por uma película isolante de espessura desprezível. Os potenciais fixados na superfície são:
- hemisfério esquerdo:
; - hemisfério direito:
.
O que se pede:
(a) o potencial elétrico para pontos exteriores à esfera ( );
(b) o potencial elétrico para pontos interiores à esfera ( );
(c) a contribuição de quadrupólo para o potencial elétrico em pontos exteriores ( ).
(a) o potencial elétrico para pontos exteriores à esfera (
(b) o potencial elétrico para pontos interiores à esfera (
(c) a contribuição de quadrupólo para o potencial elétrico em pontos exteriores (
Observações que vou usar (dados do enunciado): a superfície esférica tem potencial constante em cada hemisfério (dois valores diferentes), e a película isolante permite essa descontinuidade de potencial na superfície.
Vou medir o ângulo polar a partir do eixo que separa os hemisférios (ou seja, escolho o eixo polar de modo que a fronteira entre hemisférios seja o plano
). Assim:
- a coordenada angular será
(ângulo entre o ponto e o eixo que separa os hemisférios); - no contorno esférico a função de contorno é
Passo 2
Ideia geral (sem cálculos pesados ainda): o potencial
satisfa z a equação de Laplace fora de cargas e é determinado unicamente pela condição de contorno
na superfície. Como os valores são independentes de
(escolhi o eixo de separação como eixo polar), o problema é axisimétrico e podemos expandir
em polinômios de Legendre
.
Recordando a forma geral das soluções de Laplace em coordenadas esféricas (axisimétricas):
- para
(exterior),
- para
(interior, regular em ),
As constantes
e
são determinadas impondo
, e usando a ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
Passo 3
Obtendo as fórmulas dos coeficientes: impondo o contorno em
,
para o interior:
multiplicando por
e integrando de
a
e usando ortogonalidade,
Logo
para o exterior:
da mesma forma
ou seja
Portanto tudo se reduz ao cálculo dos integrais
com
para
e
para
.
Passo 4
Cálculo de
. Faço a decomposição usando simetria:
Agrupando,
É útil expressar integrais em
. Para isso note que, para
, substituindo
na primeira integral e usando
, obtemos de forma direta (arranjo mais prático):
Como
e
para
, isso dá
Definindo
temos
Passo 5
Analisando paridades e simplificando
. Usando a identidade (fácil de mostrar a partir de relações de recorrência):
logo
pois
para todo
e isso cancela as contribuições em
.
Agora observe que
se
for ímpar, e
se
é par. Assim:
- para
par: (pois e são ambos nulos), então ; - para
ímpar: em geral e contribuem ao potencial.
Conclusão importante (muito útil para a parte (c)): apenas termos com
ímpar aparecem na expansão — portanto todos os coeficientes de ordem par (incluindo
, o termo quadrupolar) são nulos. Ou seja, a contribuição de quadrupólo é zero.
Passo 6
Expressões explícitas dos coeficientes para
(ímpares). Para
temos, usando a fórmula de
,
Então
Substituindo em
e
:
para
,
Os coeficientes para
par são nulos:
.
Passo 7
Montando a série para
(exterior). Usando os
obtidos,
Essa é a expressão do potencial externo em forma de série em harmônicos esféricos (apenas termos ímpares aparecem).
Um termo prático útil (termo dominante quando
) é o dipolo (
,
). Com
e
, temos
. O termo
vale
onde
é o cosseno do ângulo medido a partir do eixo que separa os hemisférios (para coordenadas cartesianas,
se esse eixo for o eixo
).]
Passo 8
Montando a série para
(interior). Usando os
,
O termo dominante (dipolar,
) dentro da esfera é
Passo 9
Interpretando e respondendo a parte (c) explicitamente: como mostrado no Passo 5, os coeficientes para
par são todos nulos devido à simetria do contorno (apenas termos
ímpares sobrevivem). Em particular o coeficiente do termo quadrupolar (
) é zero. Portanto a contribuição de quadrupólo para o potencial exterior é nula.
Pequeno resumo físico/intuitivo: a distribuição de potencial na superfície é antissemiesférica de modo que gera apenas multipolos ímpares (dipolo, octopolo, …), e os multipolos pares (incluindo quadrupolo) somam zero.
Resposta
(a)
(b)
(c) contribuição de quadrupólo (
) =