1. (3 Pontos)
    a) Considere uma esfera de raio R cortada ao meio, com seus hemisférios unidos por uma película isolante de espessura desprezível. Sejam 2 V_{0} e -V_{0} os potenciais elétricos do hemisfério esquerdo e direito, respectivamente. Calcule o potencial elétrico criado pela esfera a uma distância r do centro da esfera, para pontos exteriores à esfera;
    b) Refaça o ítem a, considerando pontos interiores da esfera ( \mathrm{r}<\mathrm{R} );
    c) Calcule a contribuição de quadrupólo para o potencial elétrico de tal distribuição, considerando pontos exteriores à esfera;

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R dividida em dois hemisférios por uma película isolante de espessura desprezível. Os potenciais fixados na superfície são:
  • hemisfério esquerdo: 2V_{0};
  • hemisfério direito: -V_{0}.
O que se pede:
(a) o potencial elétrico para pontos exteriores à esfera ( r>R);
(b) o potencial elétrico para pontos interiores à esfera ( r<R);
(c) a contribuição de quadrupólo para o potencial elétrico em pontos exteriores ( r>R).
Observações que vou usar (dados do enunciado): a superfície esférica tem potencial constante em cada hemisfério (dois valores diferentes), e a película isolante permite essa descontinuidade de potencial na superfície.
Vou medir o ângulo polar a partir do eixo que separa os hemisférios (ou seja, escolho o eixo polar de modo que a fronteira entre hemisférios seja o plano \theta=\pi/2). Assim:
  • a coordenada angular será \theta (ângulo entre o ponto e o eixo que separa os hemisférios);
  • no contorno esférico a função de contorno é
V_s(\cos\theta)=\begin{cases} - V_0, & 0\le\theta<\tfrac{\pi}{2}\quad(\cos\theta>0)\\[4pt] 2 V_0, & \tfrac{\pi}{2}<\theta\le\pi\quad(\cos\theta<0). \end{cases}]

Passo 2

Ideia geral (sem cálculos pesados ainda): o potencial V(\mathbf r) satisfa z a equação de Laplace fora de cargas e é determinado unicamente pela condição de contorno V(R,\theta)=V_s(\cos\theta) na superfície. Como os valores são independentes de \varphi (escolhi o eixo de separação como eixo polar), o problema é axisimétrico e podemos expandir V em polinômios de Legendre P_l(\cos\theta).
Recordando a forma geral das soluções de Laplace em coordenadas esféricas (axisimétricas):
  • para r>R (exterior),
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty} \frac{b_l}{r^{\,l+1}}\,P_l(\cos\theta).
  • para r<R (interior, regular em r=0),
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty} a_l\, r^{\,l}\,P_l(\cos\theta).
As constantes a_l e b_l são determinadas impondo V(R,\theta)=V_s(\cos\theta), e usando a ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
\int_{-1}^{1} P_l(u)P_{l'}(u)\,du=\frac{2}{2l+1}\delta_{ll'}.

Passo 3

Obtendo as fórmulas dos coeficientes: impondo o contorno em r=R,
para o interior:
\sum_{l=0}^{\infty} a_l R^{\,l} P_l(u)=V_s(u),\qquad u=\cos\theta,
multiplicando por P_l(u) e integrando de -1 a 1 e usando ortogonalidade,
a_l R^{\,l}=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^{1} V_s(u)\,P_l(u)\,du.
Logo
a_l=\frac{2l+1}{2R^{\,l}}\int_{-1}^{1} V_s(u)\,P_l(u)\,du.
para o exterior:
\sum_{l=0}^{\infty} \frac{b_l}{R^{\,l+1}} P_l(u)=V_s(u),
da mesma forma
\frac{b_l}{R^{\,l+1}}=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^{1} V_s(u)\,P_l(u)\,du,
ou seja
b_l=\frac{2l+1}{2}R^{\,l+1}\int_{-1}^{1} V_s(u)\,P_l(u)\,du.
Portanto tudo se reduz ao cálculo dos integrais
I_l\equiv\int_{-1}^{1} V_s(u)\,P_l(u)\,du,
com V_s(u)=-V_0 para u\in(0,1] e V_s(u)=2V_0 para u\in[-1,0).

Passo 4

Cálculo de I_l. Faço a decomposição usando simetria:
I_l=\int_{-1}^{0} 2V_0 P_l(u)\,du + \int_{0}^{1} (-V_0) P_l(u)\,du.
Agrupando,
I_l=V_0\Big(2\int_{-1}^{0}P_l(u)\,du - \int_{0}^{1}P_l(u)\,du\Big).
É útil expressar integrais em [0,1]. Para isso note que, para u\in(0,1), substituindo u\to -u na primeira integral e usando P_l(-u)=(-1)^l P_l(u), obtemos de forma direta (arranjo mais prático):
I_l=\int_{0}^{1}\big(V_s(u)+V_s(-u)(-1)^l\big)P_l(u)\,du.
Como V_s(u)=-V_0 e V_s(-u)=2V_0 para u\in(0,1), isso dá
I_l=V_0\big(-1 + 2(-1)^l\big)\int_{0}^{1}P_l(u)\,du.
Definindo
J_l\equiv\int_{0}^{1}P_l(u)\,du,
temos
I_l=V_0\big(2(-1)^l-1\big)J_l.

Passo 5

Analisando paridades e simplificando J_l. Usando a identidade (fácil de mostrar a partir de relações de recorrência):
\int P_l(u)\,du=\frac{P_{l+1}(u)-P_{l-1}(u)}{2l+1} + C,
logo
J_l=\int_{0}^{1}P_l(u)\,du=\frac{P_{l-1}(0)-P_{l+1}(0)}{2l+1},
pois P_n(1)=1 para todo n e isso cancela as contribuições em u=1.
Agora observe que P_n(0)=0 se n for ímpar, e P_{2m}(0)=(-1)^m\frac{(2m)!}{2^{2m}(m!)^2} se n=2m é par. Assim:
  • para l par: J_l=0 (pois P_{l-1}(0) e P_{l+1}(0) são ambos nulos), então I_l=0;
  • para l ímpar: J_l\neq 0 em geral e contribuem ao potencial.
Conclusão importante (muito útil para a parte (c)): apenas termos com l ímpar aparecem na expansão — portanto todos os coeficientes de ordem par (incluindo l=2, o termo quadrupolar) são nulos. Ou seja, a contribuição de quadrupólo é zero.

Passo 6

Expressões explícitas dos coeficientes para l=2k+1 (ímpares). Para l=2k+1 temos, usando a fórmula de J_l,
J_{2k+1}=\frac{P_{2k}(0)-P_{2k+2}(0)}{4k+3}.
Então
I_{2k+1}=V_0\big(2(-1)^{2k+1}-1\big)J_{2k+1} =V_0(-3)\,J_{2k+1} =-3V_0\frac{P_{2k}(0)-P_{2k+2}(0)}{4k+3}.
Substituindo em b_l e a_l:
para l=2k+1,
b_{2k+1}=\frac{4k+3}{2}R^{2k+2}I_{2k+1} =-\frac{3V_0}{2}R^{2k+2}\big(P_{2k}(0)-P_{2k+2}(0)\big),
a_{2k+1}=\frac{4k+3}{2R^{2k+1}}I_{2k+1} =-\frac{3V_0}{2R^{2k+1}}\big(P_{2k}(0)-P_{2k+2}(0)\big).
Os coeficientes para l par são nulos: a_{2k}=b_{2k}=0.

Passo 7

Montando a série para r>R (exterior). Usando os b_{2k+1} obtidos,
\begin{aligned} V(r,\theta)&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{b_{2k+1}}{r^{2k+2}}\,P_{2k+1}(\cos\theta)\\[4pt] &=-\frac{3V_0}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\big(P_{2k}(0)-P_{2k+2}(0)\big)\left(\frac{R}{r}\right)^{2k+2}P_{2k+1}(\cos\theta). \end{aligned}
Essa é a expressão do potencial externo em forma de série em harmônicos esféricos (apenas termos ímpares aparecem).
Um termo prático útil (termo dominante quando r\gg R) é o dipolo ( k=0, l=1). Com P_0(0)=1 e P_2(0)=-\tfrac{1}{2}, temos P_0(0)-P_2(0)=\tfrac{3}{2}. O termo l=1 vale
V_{l=1}(r,\theta)=-\frac{9}{4}V_0\frac{R^{2}}{r^{2}}P_1(\cos\theta) =-\frac{9}{4}V_0\frac{R^{2}}{r^{2}}\cos\theta,
onde \cos\theta é o cosseno do ângulo medido a partir do eixo que separa os hemisférios (para coordenadas cartesianas, \cos\theta=x/r se esse eixo for o eixo x).]

Passo 8

Montando a série para r<R (interior). Usando os a_{2k+1},
\begin{aligned} V(r,\theta)&=\sum_{k=0}^{\infty} a_{2k+1} r^{2k+1} P_{2k+1}(\cos\theta)\\[4pt] &=-\frac{3V_0}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\big(P_{2k}(0)-P_{2k+2}(0)\big)\left(\frac{r}{R}\right)^{2k+1}P_{2k+1}(\cos\theta). \end{aligned}
O termo dominante (dipolar, k=0) dentro da esfera é
V_{l=1}(r,\theta)=-\frac{9}{4}V_0\frac{r}{R}\cos\theta.]

Passo 9

Interpretando e respondendo a parte (c) explicitamente: como mostrado no Passo 5, os coeficientes para l par são todos nulos devido à simetria do contorno (apenas termos l ímpares sobrevivem). Em particular o coeficiente do termo quadrupolar ( l=2) é zero. Portanto a contribuição de quadrupólo para o potencial exterior é nula.
Pequeno resumo físico/intuitivo: a distribuição de potencial na superfície é antissemiesférica de modo que gera apenas multipolos ímpares (dipolo, octopolo, …), e os multipolos pares (incluindo quadrupolo) somam zero.

Resposta

(a) \displaystyle V(r,\theta)=-\frac{3V_0}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\big(P_{2k}(0)-P_{2k+2}(0)\big)\left(\frac{R}{r}\right)^{2k+2}P_{2k+1}(\cos\theta),\quad r>R
(b) \displaystyle V(r,\theta)=-\frac{3V_0}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\big(P_{2k}(0)-P_{2k+2}(0)\big)\left(\frac{r}{R}\right)^{2k+1}P_{2k+1}(\cos\theta),\quad r<R
(c) contribuição de quadrupólo ( l=2) = 0

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