Explique o critério de convergência do método do ponto fixo com base na derivada da função g(x).

Passo 1

O enunciado pede que eu explique qual é o critério de convergência do método do ponto fixo baseado na derivada da função g(x).
Informações que tenho (implícitas na pergunta):
  • O método do ponto fixo é a iteração x_{n+1}=g(x_n).
  • A explicação deve usar a derivada g'(x) para dar condições que garantam convergência (ou divergência) da sequência (x_n).
  • Preciso dizer como usar isso na prática (o que checar numa prova) e interpretar a rapidez da convergência.

Passo 2

Vou lembrar qual é a ideia básica do método do ponto fixo e o que significa convergir para uma solução.
Um ponto p é ponto fixo de g se
g(p)=p.
Queremos que a sequência gerada por x_{n+1}=g(x_n) tenda para p quando n\to\infty. Em provas, normalmente há duas abordagens principais: (i) usar o Teorema do Ponto Fixo (contracção) numa vizinhança; (ii) analisar g'(p) localmente com o Teorema do Valor Médio para obter taxas de erro. Vou desenvolver essas ideias passo a passo.

Passo 3

Condição global de contracção (fácil de aplicar em prova): suponha que existe um intervalo [a,b] tal que
  • g é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b),
  • g([a,b])\subseteq[a,b] (ou seja, g leva o intervalo em si),
  • existe L com 0\le L<1 tal que
\sup_{x\in[a,b]}|g'(x)| = L < 1.
Explicação didática: a condição \sup|g'|<1 diz que a derivada de g é limitada por um número menor que 1 em todo o intervalo — isso implica que g é uma contracção (encolhe distâncias). Agora mostro a consequência prática usando o Teorema do Valor Médio.

Passo 4

Demonstração do motivo pelo qual \sup_{x\in[a,b]}|g'(x)|=L<1 garante convergência (passo a passo):
Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer x,y\in[a,b] existe \xi entre x e y tal que
g(x)-g(y)=g'(\xi)(x-y).
Tomando valores absolutos,
|g(x)-g(y)| = |g'(\xi)|\,|x-y|.
Como |g'(\xi)|\le \sup_{t\in[a,b]}|g'(t)| = L, obtemos
|g(x)-g(y)|\le L\,|x-y|.
Isto mostra que g é uma contracção com constante L. Aplicando recursivamente à iteração com y=p (o ponto fixo),
|x_{n+1}-p| = |g(x_n)-g(p)| \le L\,|x_n-p|.
Iterando essa desigualdade:
|x_n-p| \le L^n |x_0-p|.
Como 0\le L<1, temos L^n\to 0, logo x_n\to p geometricamente. Além disso, a contracção garante unicidade do ponto fixo em [a,b].

Passo 5

Interpretação prática e checklist para a prova (o que checar em ordem):
  1. Identificar um intervalo [a,b] onde buscar o fixo e verificar que g([a,b])\subseteq[a,b]. Se não houver intervalo, pode-se tentar achar uma vizinhança do candidato p.
  2. Calcular g'(x) e estimar \sup_{x\in[a,b]}|g'(x)|. Se conseguir provar que esse sup é L<1, então convergência (única solução no intervalo) está garantida para qualquer x_0\in[a,b].
  3. Se não for possível garantir L<1 globalmente, verificar g'(p) localmente: se |g'(p)|<1 então existe uma vizinhança de p onde |g'|<1 e a iteração converge para p quando x_0 estiver nessa vizinhança.
  4. Se |g'(p)|>1 então a iteração geralmente diverge: pequenas perturbações afastam da solução (justificativa abaixo).
  5. Se |g'(p)|=1 a situação é inconclusiva e requer análise mais refinada (ex.: verificar derivadas de ordem superior ou comportamento explícito de g).

Passo 6

Por que |g'(p)|>1 tende a causar divergência (explicação com linearização): suponha que g é diferenciável em p e escrevemos o erro e_n = x_n-p. Fazendo expansão linear (primeiro ordem),
e_{n+1} = g(x_n)-g(p) \approx g'(p)\,e_n
quando e_n é pequeno. Assim, se |g'(p)|>1 então o erro é multiplicado por um fator maior que 1 (locamente), portanto cresce e a iteração afasta-se de p. Por isso |g'(p)|>1 é um sinal de instabilidade do ponto fixo sob iteração simples.

Passo 7

Taxa de convergência (como a derivada informa a rapidez):
  • Se g é diferenciável em p e 0<|g'(p)|<1, a convergência é linear com razão aproximadamente |g'(p)|: existe C tal que, para n grande,
|x_{n+1}-p| \approx |g'(p)|\,|x_n-p|.
  • Se g'(p)=0 e g tem derivadas até certa ordem, a convergência pode ser superlinear: por exemplo, se g'(p)=0 mas g''(p)\neq 0 então muitas vezes o erro satisfaz |e_{n+1}|\approx C|e_n|^2 (convergência quadrática) — depende de como as primeiras derivadas sucessivas se anulam. Há um resultado geral: se g é C^m e g^{(k)}(p)=0 para k=1,\dots,m-1 e g^{(m)}(p)\neq0, então a ordem de convergência pode ser m. Em provas, citar que g'(p)=0 pode acelerar a convergência já é suficiente, salvo pedidos mais rigorosos.

Passo 8

Exemplos rápidos (para fixar a intuição):
  • Convergência garantida: g(x)=\cos x em [0,\tfrac{\pi}{2}]. Aqui g'(x)=-\sin x e numa vizinhança do ponto fixo p tem-se |g'(p)|=|\sin p|\approx 0,674<1. Assim a iteração converge para a solução p (o número chamado Dottie number).
  • Divergência típica: g(x)=2x. O único ponto fixo é p=0, mas g'(0)=2>1. Para x_0\neq0 a sequência diverge.
  • Caso especial com g'(p)=0: g(x)=x^2 tem ponto fixo p=0. Para x_0 pequeno, x_{n+1}=x_n^2 e o erro satisfaz e_{n+1}=e_n^2 — convergência superlinear (quadrática no sentido de potência).

Passo 9

Resumo prático de como aplicar rapidamente numa prova (modo check-list):
  1. Ache o candidato p (resolver g(x)=x ou assumir existência).
  2. Calcule g'(x).
  3. Se conseguir provar que existe intervalo [a,b] com g([a,b])\subset[a,b] e \sup_{x\in[a,b]}|g'(x)|=L<1, então: existe único ponto fixo em [a,b] e x_{n+1}=g(x_n) converge para ele geometricamente para todo x_0\in[a,b]. Escrever a desigualdade de erro |x_n-p|\le L^n|x_0-p|.
  4. Se só souber g'(p):
    • |g'(p)|<1 → converge (localmente) e com taxa linear aproximada |g'(p)|.
    • |g'(p)|>1 → diverge (localmente).
    • |g'(p)|=1 → inconclusivo, analisar ordens superiores ou comportamento explícito.

Resposta

Se existe um intervalo [a,b] com g([a,b])\subseteq[a,b] e \displaystyle L:=\sup_{x\in[a,b]}|g'(x)|<1, então g é uma contracção em [a,b], existe um único ponto fixo p\in[a,b] e para todo x_0\in[a,b] a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge para p com o erro satisfazendo |x_n-p|\le L^n|x_0-p|.
Localmente, se g é diferenciável em p: |g'(p)|<1 garante convergência local (linear, razão aproximadamente |g'(p)|); |g'(p)|>1 indica divergência; |g'(p)|=1 é inconclusivo e requer análise de derivadas de ordem superior.

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