Explique o critério de convergência do método do ponto fixo com base na derivada da função
.
Passo 1
O enunciado pede que eu explique qual é o critério de convergência do método do ponto fixo baseado na derivada da função
.
Informações que tenho (implícitas na pergunta):
Informações que tenho (implícitas na pergunta):
- O método do ponto fixo é a iteração
. - A explicação deve usar a derivada
para dar condições que garantam convergência (ou divergência) da sequência . - Preciso dizer como usar isso na prática (o que checar numa prova) e interpretar a rapidez da convergência.
Passo 2
Vou lembrar qual é a ideia básica do método do ponto fixo e o que significa convergir para uma solução.
Um ponto é ponto fixo de
se
Um ponto
Queremos que a sequência gerada por
tenda para
quando
. Em provas, normalmente há duas abordagens principais: (i) usar o Teorema do Ponto Fixo (contracção) numa vizinhança; (ii) analisar
localmente com o Teorema do Valor Médio para obter taxas de erro. Vou desenvolver essas ideias passo a passo.
Passo 3
Condição global de contracção (fácil de aplicar em prova): suponha que existe um intervalo
tal que
-
é contínua em e diferenciável em , -
(ou seja, leva o intervalo em si), - existe
com tal que
Explicação didática: a condição
diz que a derivada de
é limitada por um número menor que 1 em todo o intervalo — isso implica que
é uma contracção (encolhe distâncias). Agora mostro a consequência prática usando o Teorema do Valor Médio.
Passo 4
Demonstração do motivo pelo qual
garante convergência (passo a passo):
Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer existe
entre
e
tal que
Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer
Tomando valores absolutos,
Como
, obtemos
Isto mostra que
é uma contracção com constante
. Aplicando recursivamente à iteração com
(o ponto fixo),
Iterando essa desigualdade:
Como
, temos
, logo
geometricamente. Além disso, a contracção garante unicidade do ponto fixo em
.
Passo 5
Interpretação prática e checklist para a prova (o que checar em ordem):
- Identificar um intervalo
onde buscar o fixo e verificar que . Se não houver intervalo, pode-se tentar achar uma vizinhança do candidato . - Calcular
e estimar . Se conseguir provar que esse sup é , então convergência (única solução no intervalo) está garantida para qualquer . - Se não for possível garantir
globalmente, verificar localmente: se então existe uma vizinhança de onde e a iteração converge para quando estiver nessa vizinhança. - Se
então a iteração geralmente diverge: pequenas perturbações afastam da solução (justificativa abaixo). - Se
a situação é inconclusiva e requer análise mais refinada (ex.: verificar derivadas de ordem superior ou comportamento explícito de ).
Passo 6
Por que
tende a causar divergência (explicação com linearização): suponha que
é diferenciável em
e escrevemos o erro
. Fazendo expansão linear (primeiro ordem),
quando
é pequeno. Assim, se
então o erro é multiplicado por um fator maior que 1 (locamente), portanto cresce e a iteração afasta-se de
. Por isso
é um sinal de instabilidade do ponto fixo sob iteração simples.
Passo 7
Taxa de convergência (como a derivada informa a rapidez):
- Se
é diferenciável em e , a convergência é linear com razão aproximadamente : existe tal que, para grande,
- Se
e tem derivadas até certa ordem, a convergência pode ser superlinear: por exemplo, se mas então muitas vezes o erro satisfaz (convergência quadrática) — depende de como as primeiras derivadas sucessivas se anulam. Há um resultado geral: se é e para e , então a ordem de convergência pode ser . Em provas, citar que pode acelerar a convergência já é suficiente, salvo pedidos mais rigorosos.
Passo 8
Exemplos rápidos (para fixar a intuição):
- Convergência garantida:
em . Aqui e numa vizinhança do ponto fixo tem-se . Assim a iteração converge para a solução (o número chamado Dottie number). - Divergência típica:
. O único ponto fixo é , mas . Para a sequência diverge. - Caso especial com
: tem ponto fixo . Para pequeno, e o erro satisfaz — convergência superlinear (quadrática no sentido de potência).
Passo 9
Resumo prático de como aplicar rapidamente numa prova (modo check-list):
- Ache o candidato
(resolver ou assumir existência). - Calcule
. - Se conseguir provar que existe intervalo
com e , então: existe único ponto fixo em e converge para ele geometricamente para todo . Escrever a desigualdade de erro . - Se só souber
: -
→ converge (localmente) e com taxa linear aproximada . -
→ diverge (localmente). -
→ inconclusivo, analisar ordens superiores ou comportamento explícito.
-
Resposta
Se existe um intervalo
com
e
, então
é uma contracção em
, existe um único ponto fixo
e para todo
a iteração
converge para
com o erro satisfazendo
.
Localmente, se é diferenciável em
:
garante convergência local (linear, razão aproximadamente
);
indica divergência;
é inconclusivo e requer análise de derivadas de ordem superior.
Localmente, se