Um empregado de companhia aérea coloca duas malas de massas 15 kg e 20 kg respectivamente, sobre um carrinho de transporte de massa 25 kg . Sabendo que o carrinho está inicialmente em repouso e que o empregado imprime uma velocidade horizontal de
à mala de 15 kg e de
à mala de 20 kg . Determine a velocidade final do carrinho de bagagem se a primeira mala posta sobre o carrinho for: b) a de 20 kg , discuta os resultados.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (lista das informações e da pergunta):
- Massa da mala pequena:
. - Velocidade impressa à mala pequena (antes de cair sobre o carrinho):
. - Massa da mala grande:
. - Velocidade impressa à mala grande (antes de cair sobre o carrinho):
. - Massa do carrinho vazio:
. - O carrinho está inicialmente em repouso:
. - Pergunta: determinar a velocidade final do conjunto (carrinho + malas) no caso em que a primeira mala posta sobre o carrinho é a de
(ou seja, a sequência é: primeiro a mala de , depois a de ). Também é pedido discutir os resultados.
Passo 2
Assunções físicas e princípio que vamos usar (sem resolver ainda):
- Assumimos que as interações são horizontais e que não há impulsos horizontais externos significativos durante as colocações (rodas sem atrito horizontal idealizado). Isso permite usar conservação do momento linear horizontal.
- Quando uma mala é colocada sobre o carrinho ela “gruda” ao sistema (colisão perfeitamente inelástica relativa ao movimento horizontal): após o contato passam a mover-se juntos com uma única velocidade comum.
- Princípio de conservação do momento linear (aplicado a cada evento de colisão isolado): o momento total antes do encontro é igual ao momento total depois, se não há força externa resultante na direção considerada. Em fórmula, para uma colisão entre massas
(com velocidade ) e (com velocidade ) que permanecem unidas,
Aqui cada símbolo significa:
-
: massas envolvidas; -
: velocidades (antes do encontro), medidas em relação ao solo; -
: velocidade após a colisão, comum às massas unidas.
Passo 3
Aplicar a conservação do momento ao primeiro evento: a mala de
(
) com velocidade
é colocada sobre o carrinho (massa
) que está em repouso.
Usamos
Usamos
onde
é a velocidade do carrinho + mala de
logo depois desse primeiro encontro. Substituindo números:
Calculando:
Portanto, após a primeira mala (
) ser colocada, o conjunto carrinho+mala tem velocidade
Passo 4
Agora o segundo evento: a mala de
(
) com velocidade
atinge o conjunto (carrinho + mala de
) que se move a
. Aplicamos conservação do momento entre o sistema “mala de
” e o sistema “carrinho + mala de
”.
A equação é
A equação é
onde
é a velocidade final comum do sistema total (carrinho + as duas malas). Substituindo os valores já conhecidos:
Calculemos os termos separadamente:
Somando:
Logo
Em valor decimal,
Passo 5
Discussão dos resultados e interpretação física:
- Resultado numérico para a sequência “primeiro
, depois ” é
- Observação importante (curiosidade e verificação): se em vez disso colocássemos primeiro a mala de
e depois a de , obtém-se o mesmo resultado final. Isso pode ser visto rapidamente avaliando o momento total inicial das três massas (antes de qualquer contato) medido no solo:
Como no final todas as massas se movem juntas com velocidade
e massa total
, teremos em qualquer sequência (na ausência de forças externas horizontais)
Ou seja, a velocidade final depende apenas do momento total inicial e da massa total, não da ordem em que as malas foram colocadas. Física por trás: as colisões são internas ao conjunto e o momento linear total é preservado; distribuir essas colisões em sequência não altera o momento total acumulado antes do estado final unido.
- Condição de validade: essa conclusão vale se não houver impulsos horizontais externos significativos durante as operações (por ex., atrito horizontal nas rodas desprezível, ou o tempo de contato é curto comparado a forças externas), e se as malas realmente passam a mover-se solidariamente com o carrinho (colisão inelástica). Se houvesse atrito horizontal grande ou perdas por rebote que removessem momento para o chão, o resultado mudaria.