Um empregado de companhia aérea coloca duas malas de massas 15 kg e 20 kg respectivamente, sobre um carrinho de transporte de massa 25 kg . Sabendo que o carrinho está inicialmente em repouso e que o empregado imprime uma velocidade horizontal de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} à mala de 15 kg e de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} à mala de 20 kg . Determine a velocidade final do carrinho de bagagem se a primeira mala posta sobre o carrinho for: b) a de 20 kg , discuta os resultados.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista das informações e da pergunta):
  • Massa da mala pequena: m_1 = 15\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade impressa à mala pequena (antes de cair sobre o carrinho): v_1 = 3\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa da mala grande: m_2 = 20\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade impressa à mala grande (antes de cair sobre o carrinho): v_2 = 2\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa do carrinho vazio: M = 25\\ \mathrm{kg}.
  • O carrinho está inicialmente em repouso: V_{c,0}=0.
  • Pergunta: determinar a velocidade final do conjunto (carrinho + malas) no caso em que a primeira mala posta sobre o carrinho é a de 20\\ \mathrm{kg} (ou seja, a sequência é: primeiro a mala de 20\\ \mathrm{kg}, depois a de 15\\ \mathrm{kg}). Também é pedido discutir os resultados.

Passo 2

Assunções físicas e princípio que vamos usar (sem resolver ainda):
  • Assumimos que as interações são horizontais e que não há impulsos horizontais externos significativos durante as colocações (rodas sem atrito horizontal idealizado). Isso permite usar conservação do momento linear horizontal.
  • Quando uma mala é colocada sobre o carrinho ela “gruda” ao sistema (colisão perfeitamente inelástica relativa ao movimento horizontal): após o contato passam a mover-se juntos com uma única velocidade comum.
  • Princípio de conservação do momento linear (aplicado a cada evento de colisão isolado): o momento total antes do encontro é igual ao momento total depois, se não há força externa resultante na direção considerada. Em fórmula, para uma colisão entre massas m_a (com velocidade u_a) e m_b (com velocidade u_b) que permanecem unidas,
m_a u_a + m_b u_b = (m_a + m_b) v_{\text{comum}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • m_a, m_b: massas envolvidas;
  • u_a, u_b: velocidades (antes do encontro), medidas em relação ao solo;
  • v_{\text{comum}}: velocidade após a colisão, comum às massas unidas.

Passo 3

Aplicar a conservação do momento ao primeiro evento: a mala de 20\\ \mathrm{kg} ( m_2) com velocidade v_2=2\\ \mathrm{m/s} é colocada sobre o carrinho (massa M) que está em repouso.
Usamos
m_2 v_2 + M\cdot 0 = (M + m_2)\,V_1,
onde V_1 é a velocidade do carrinho + mala de 20\\ \mathrm{kg} logo depois desse primeiro encontro. Substituindo números:
20\cdot 2 + 25\cdot 0 = (25+20)\,V_1.
Calculando:
40 = 45\,V_1 \quad\Rightarrow\quad V_1 = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, após a primeira mala ( 20\\ \mathrm{kg}) ser colocada, o conjunto carrinho+mala tem velocidade
V_1 = \frac{8}{9}\\ \mathrm{m/s} \approx 0,8889\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora o segundo evento: a mala de 15\\ \mathrm{kg} ( m_1) com velocidade v_1=3\\ \mathrm{m/s} atinge o conjunto (carrinho + mala de 20\\ \mathrm{kg}) que se move a V_1. Aplicamos conservação do momento entre o sistema “mala de 15\\ \mathrm{kg}” e o sistema “carrinho + mala de 20\\ \mathrm{kg}”.
A equação é
m_1 v_1 + (M + m_2)\,V_1 = (M + m_2 + m_1)\,V_f,
onde V_f é a velocidade final comum do sistema total (carrinho + as duas malas). Substituindo os valores já conhecidos:
15\cdot 3 + 45\cdot\frac{8}{9} = 60\,V_f.
Calculemos os termos separadamente:
15\cdot 3 = 45,
45\cdot\frac{8}{9} = 5\cdot 8 = 40.
Somando:
45 + 40 = 85.
Logo
85 = 60\,V_f \quad\Rightarrow\quad V_f = \frac{85}{60} = \frac{17}{12}\\ \mathrm{m/s}.
Em valor decimal,
V_f \approx 1,4167\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Discussão dos resultados e interpretação física:
  • Resultado numérico para a sequência “primeiro 20\\ \mathrm{kg}, depois 15\\ \mathrm{kg}” é
V_f = \frac{17}{12}\\ \mathrm{m/s} \approx 1,4167\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação importante (curiosidade e verificação): se em vez disso colocássemos primeiro a mala de 15\\ \mathrm{kg} e depois a de 20\\ \mathrm{kg}, obtém-se o mesmo resultado final. Isso pode ser visto rapidamente avaliando o momento total inicial das três massas (antes de qualquer contato) medido no solo:
\text{momento total inicial} = M\cdot 0 + m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 + 15\cdot 3 + 20\cdot 2 = 45 + 40 = 85.
Como no final todas as massas se movem juntas com velocidade V_f e massa total M+m_1+m_2=60, teremos em qualquer sequência (na ausência de forças externas horizontais)
V_f = \frac{85}{60}=\frac{17}{12}\\ \mathrm{m/s}.
Ou seja, a velocidade final depende apenas do momento total inicial e da massa total, não da ordem em que as malas foram colocadas. Física por trás: as colisões são internas ao conjunto e o momento linear total é preservado; distribuir essas colisões em sequência não altera o momento total acumulado antes do estado final unido.
  • Condição de validade: essa conclusão vale se não houver impulsos horizontais externos significativos durante as operações (por ex., atrito horizontal nas rodas desprezível, ou o tempo de contato é curto comparado a forças externas), e se as malas realmente passam a mover-se solidariamente com o carrinho (colisão inelástica). Se houvesse atrito horizontal grande ou perdas por rebote que removessem momento para o chão, o resultado mudaria.

Resposta

\displaystyle V_f=\frac{17}{12}\\ \mathrm{m/s}\approx 1,4167\\ \mathrm{m/s}

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