Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x, y, z)=(x+y, y-z) e as bases \mathcal{A}=\{(1,1,1),(0,0,1),(-1,1,1)\} e \mathcal{B}=\{(3,0),(1,1)\} para o \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}, respectivamente. Determine a matriz mudança de base \mathcal{A} para \mathcal{B}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a matriz que representa a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 dada por
T(x,y,z)=(x+y,\;y-z),
quando se usa a base \mathcal{A}=\{(1,1,1),(0,0,1),(-1,1,1)\} em \mathbb{R}^3 (domínio) e a base \mathcal{B}=\{(3,0),(1,1)\} em \mathbb{R}^2 (contradomínio).
Informações relevantes fornecidas:
  • A transformação T está explicitada por T(x,y,z)=(x+y,\;y-z).
  • Base do domínio: \mathcal{A}=\{a_1,a_2,a_3\} com a_1=(1,1,1), a_2=(0,0,1), a_3=(-1,1,1).
  • Base do contradomínio: \mathcal{B}=\{b_1,b_2\} com b_1=(3,0), b_2=(1,1).
  • O objetivo é achar a matriz de T relativa a \mathcal{A} e \mathcal{B}; na prática, para cada a_i calcular T(a_i) e escrever as coordenadas desse vetor na base \mathcal{B}. Essas coordenadas formam a i-ésima coluna da matriz procurada.

Passo 2

Vamos avaliar T nas três vetores da base \mathcal{A}. Primeiro, a_1=(1,1,1). Substituindo na fórmula de T:
T(1,1,1) = (1+1,\;1-1).
Calculemos passo a passo:
1+1=2,\qquad 1-1=0.
Portanto
T(a_1)=T(1,1,1)=(2,0).

Passo 3

Agora precisamos escrever T(a_1)=(2,0) como combinação linear dos vetores da base \mathcal{B}, ou seja achar escalares \alpha,\beta tais que
\alpha\,b_1+\beta\,b_2 = (2,0).
Substituindo b_1=(3,0) e b_2=(1,1) temos o sistema (componentes coordenada a coordenada):
3\alpha + 1\beta = 2,
0\alpha + 1\beta = 0.
Da segunda equação vem \beta=0. Substituindo na primeira:
3\alpha = 2 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{2}{3}.
Logo as coordenadas de T(a_1) na base \mathcal{B} são
\left(\frac{2}{3},\;0\right).
Essa será a primeira coluna da matriz de T (coluna correspondente a a_1).

Passo 4

Agora a_2=(0,0,1). Avaliando T:
T(0,0,1) = (0+0,\;0-1) = (0,-1).
Precisamos \alpha,\beta tais que
\alpha(3,0)+\beta(1,1) = (0,-1).
Componentes dão o sistema
3\alpha + \beta = 0,
\beta = -1.
Da segunda equação \beta=-1. Substituindo na primeira:
3\alpha -1 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{1}{3}.
Portanto as coordenadas de T(a_2) na base \mathcal{B} são
\left(\frac{1}{3},\;-1\right).
Essa será a segunda coluna da matriz de T.

Passo 5

Finalmente a_3=(-1,1,1). Avaliando T:
T(-1,1,1)=(-1+1,\;1-1)=(0,0).
O vetor nulo tem coordenadas (0,0) em qualquer base. Então as coordenadas de T(a_3) na base \mathcal{B} são
(0,0).
Essa será a terceira coluna da matriz.

Passo 6

Agora montamos a matriz de T com respeito às bases \mathcal{A} (colunas indexadas por vetores de \mathcal{A}) e \mathcal{B} (linhas indexadas pelas coordenadas na base \mathcal{B}). As colunas são, na ordem a_1,a_2,a_3:
\begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\[4pt] 0 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\[4pt] -1 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 \\[4pt] 0 \end{pmatrix}.
Portanto a matriz [T]_{\mathcal{B}\leftarrow\mathcal{A}} (matriz de T da base \mathcal{A} para a base \mathcal{B}) é a matriz 2\times3 com essas colunas.]

Resposta

\begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\[6pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}]

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