Considere a transformação linear
dada por
e as bases
e
para o
e
, respectivamente. Determine a matriz mudança de base
para
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine a matriz que representa a transformação linear
dada por
quando se usa a base
em
(domínio) e a base
em
(contradomínio).
Informações relevantes fornecidas:
- A transformação
está explicitada por . - Base do domínio:
com , , . - Base do contradomínio:
com , . - O objetivo é achar a matriz de
relativa a e ; na prática, para cada calcular e escrever as coordenadas desse vetor na base . Essas coordenadas formam a i-ésima coluna da matriz procurada.
Passo 2
Vamos avaliar
nas três vetores da base
. Primeiro,
. Substituindo na fórmula de
:
Calculemos passo a passo:
Portanto
Passo 3
Agora precisamos escrever
como combinação linear dos vetores da base
, ou seja achar escalares
tais que
Substituindo
e
temos o sistema (componentes coordenada a coordenada):
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo as coordenadas de
na base
são
Essa será a primeira coluna da matriz de
(coluna correspondente a
).
Passo 4
Agora
. Avaliando
:
Precisamos
tais que
Componentes dão o sistema
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Portanto as coordenadas de
na base
são
Essa será a segunda coluna da matriz de
.
Passo 5
Finalmente
. Avaliando
:
O vetor nulo tem coordenadas
em qualquer base. Então as coordenadas de
na base
são
Essa será a terceira coluna da matriz.
Passo 6
Agora montamos a matriz de
com respeito às bases
(colunas indexadas por vetores de
) e
(linhas indexadas pelas coordenadas na base
). As colunas são, na ordem
:
Portanto a matriz
(matriz de
da base
para a base
) é a matriz
com essas colunas.]