Indicar quais das seguintes sentenças são verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ). Justifique sua resposta.
0 conjunto dos polinômios de grau igual a 2 é subespaço vetorial de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = \{\,p\in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \mid \deg(p)=2\}
é um subespaço vetorial de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}). Vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto S de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. S\neq\emptyset e contém o vetor zero de V.
  2. S é fechado sob soma: para quaisquer u,v\in S, u+v\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: para todo \lambda\in\mathbb{R} e todo u\in S, \lambda u\in S.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}), que é o polinômio 0(x)=0. Como \deg(0) não é igual a 2, temos 0\notin S. Portanto, a condição de conter o vetor zero já falha.

Passo 3

Mesmo sem a etapa anterior, podemos observar a falha da condição de fechamento sob multiplicação escalar: seja p(x)=x^2\in S e tome \lambda=0. Então
\lambda p(x)=0\cdot x^2=0,
e \deg(0)\neq2, logo 0\notin S. Novamente vemos que \lambda p\notin S.

Resposta

F
O conjunto dos polinômios de grau igual a 2 não é subespaço vetorial de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) porque não contém o polinômio zero e falha em permanecer fechado sob multiplicação escalar.

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