Considere o espaço vetorial das matrizes reais, e o conjunto
(1) Verifique que B é uma base de M2.
(2) Encontre a matriz mudança de base [I]B^C da base canônica C para a base B.
(3) Encontre as coordenadas na base B da matriz A=(lla & b c & d), com a, b, c, d in R.
Passo 1
O enunciado situa-se em M2(R), que é o espaço de todas as matrizes 2times2 reais, de dimensão 4. Foi dado o conjunto
B=M1,M2,M3,M4
com
M1=0&11&0,; M2=0&-11&0,; M3=1&00&1,; M4=1&00&-1
Precisamos:
Verificar que B é base (linearmente independentes e geradores).
Encontrar a matriz de mudança de base [I]B^C que leva coordenadas na base canônica C=E11,E12,E21,E22 às coordenadas na base B.
Calcular as coordenadas de uma matriz genérica A=(a b;c d) na base B.
Passo 2
Para mostrar que
então . Das entradas dessa soma igual a zero obtemos o sistema
Da segunda equação segue ; juntas dão . Das duas últimas, similarmente . Logo a combinação é trivial, provando independência linear. Como há 4 vetores em dimensão 4, conclui-se que também geram todo . Portanto, é base.
Passo 3
Para achar [I]B^C, expressamos cada vetor da base canônica em coordenadas de B. Chamando