Considere o espaço vetorial M2(R) das matrizes 2 x 2 reais, e o conjunto
B=(ll 0 & 1 1 & 0 ),(cc 0 & -1 1 & 0 ),(ll 1 & 0 0 & 1 ),(cc 1 & 0 0 & -1 )
(1) Verifique que B é uma base de M2.
(2) Encontre a matriz mudança de base [I]B^C da base canônica C para a base B.
(3) Encontre as coordenadas na base B da matriz A=(lla & b c & d), com a, b, c, d in R.

Passo 1

O enunciado situa-se em M2(R), que é o espaço de todas as matrizes 2times2 reais, de dimensão 4. Foi dado o conjunto
B=M1,M2,M3,M4
com
M1=0&11&0,; M2=0&-11&0,; M3=1&00&1,; M4=1&00&-1
Precisamos:
  1. Verificar que B é base (linearmente independentes e geradores).
  2. Encontrar a matriz de mudança de base [I]B^C que leva coordenadas na base canônica C=E11,E12,E21,E22 às coordenadas na base B.
  3. Calcular as coordenadas de uma matriz genérica A=(a b;c d) na base B.

Passo 2

Para mostrar que
então . Das entradas dessa soma igual a zero obtemos o sistema
Da segunda equação segue ; juntas dão . Das duas últimas, similarmente . Logo a combinação é trivial, provando independência linear. Como há 4 vetores em dimensão 4, conclui-se que também geram todo . Portanto, é base.

Passo 3

Para achar [I]B^C, expressamos cada vetor da base canônica em coordenadas de B. Chamando
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1,
resolvemos para Eij=sumk=1^4xkMk. As soluções são:
E11&=tfrac12,M3+tfrac12,M4, E12&=tfrac12,M1-tfrac12,M2, E21&=tfrac12,M1+tfrac12,M2, E22&=tfrac12,M3-tfrac12,M4
Assim, a matriz de mudança de base cujas colunas são [E11]B,[E12]B,[E21]B,[E22]B é
[I]B^C = 0 & tfrac12 & tfrac12 & 0 0 & -tfrac12& tfrac12 & 0 tfrac12& 0 & 0 & tfrac12 tfrac12& 0 & 0 & -tfrac12

Passo 4

Para
resolvendo obtemos
Portanto, as coordenadas de são
.

Resposta

(1) B é independêntemente linear e gera M2(R), logo é base.
(2)
[I]B^C = 0 & tfrac12 & tfrac12 & 0 0 & -tfrac12& tfrac12 & 0 tfrac12& 0 & 0 & tfrac12 tfrac12& 0 & 0 & -tfrac12
(3)
[A]B = tfracb+c2 tfracc-b2 tfraca+d2 tfraca-d2

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