A matriz mudança de base da base
para uma base
, ambas do mesmo subespaço do
é
. Determinar a base
B .
Passo 1
O enunciado dá a base
v1,v2=,1+t,;1-t^2
de um subespaço deP2(R) e diz que a matriz de mudança de coordenadas dessa base para uma outra base
B=b1,b2 é
de um subespaço de
ou seja, para qualquer vetor
x no subespaço vale
Para determinar
B , basta usar o fato de que as colunas de
P são as coordenadas de
v1 e
v2 na base
B .
Passo 2
Pela propriedade acima, as colunas de
P nos dizem
Isto significa
Substituindo
v1=1+t e
v2=1-t^2 , obtemos o sistema
Passo 3
Para encontrar
b2 , somamos as duas equações:
e subtraímos a segunda da primeira:
Logo
Mas ao invés desses, é mais direto isolar de cada equação. Da soma
(1+t)+(1-t^2)=3b1 já temos
E de
1+t=b1+b2 surge
Resposta
A base
B é