A matriz mudança de base da base 1+t, 1-t^2 para uma base B, ambas do mesmo subespaço do P2(R) é (cc1 & 2 1 & -1). Determinar a base B.

Passo 1

O enunciado dá a base
v1,v2=,1+t,;1-t^2
de um subespaço de P2(R) e diz que a matriz de mudança de coordenadas dessa base para uma outra base B=b1,b2 é
P=1 & 21 & -1,
ou seja, para qualquer vetor x no subespaço vale
[x]B ;=;P,[x]v1,v2
Para determinar B, basta usar o fato de que as colunas de P são as coordenadas de v1 e v2 na base B.

Passo 2

Pela propriedade acima, as colunas de P nos dizem
[v1]B = 11, [v2]B = 2-1
Isto significa
v1 = 1cdot b1 + 1cdot b2, v2 = 2cdot b1 + (-1)cdot b2
Substituindo v1=1+t e v2=1-t^2, obtemos o sistema
1 + t = b1 + b2, 1 - t^2 = 2,b1 - b2

Passo 3

Para encontrar b2, somamos as duas equações:
(1+t)+(1-t^2) = (b1+b2)+(2b1-b2) ;Longrightarrow; 2 + t - t^2 = 3,b1
e subtraímos a segunda da primeira:
(1+t)-(1-t^2) = (b1+b2)-(2b1-b2) ;Longrightarrow; t + t^2 = 2,b2
Logo
b1 = 2 + t - t^23, b2 = t^2 + t2
Mas ao invés desses, é mais direto isolar de cada equação. Da soma (1+t)+(1-t^2)=3b1 já temos
b1 = 2 + t - t^23
E de 1+t=b1+b2 surge
b2 = 1 + t - b1 = 1 + t - 2 + t - t^23 = 3 + 3t - (2 + t - t^2)3 = 1 + 2t + t^23

Resposta

A base B é
B = l,b1,,b2r = l,(1/3),(-t^2 + t + 2),;(1/3),(t^2 + 2t + 1)r

Exercícios relacionados