Sejam C=e1, e2 a base canônica do R^2 e B=f1, f2 a base que resulta quando os vetores de C são refletidos em torno da reta y=x. Encontre a matriz de mudança de base de B para C,[I]C^B. Mostre que ([I]C^B)^T=[I]B^C.

Passo 1

O enunciado nos diz que em R^2 temos a base canônica
;C=e1,e2
e uma segunda base
;B=f1,f2
obtida ao refletir cada vetor de C em torno da reta y=x. Precisamos achar a matriz de mudança de base de B para C, isto é
,[I]C^B,
e mostrar que
l([I]C^Br)^T=[I]B^C.
Para isso usaremos a ideia de que a matriz de mudança de base tem como colunas as coordenadas dos vetores da base de partida (aqui B) escritas na base de chegada (aqui C), e vice-versa.

Passo 2

Como reflexão na reta y=x troca as coordenadas de cada vetor, temos
f1 = R(e1) = R(1,0) = (0,1), f2 = R(e2) = R(0,1) = (1,0)
Ou seja, em coordenadas da base canônica C,
f1 = 0cdot e1 + 1cdot e2, f2 = 1cdot e1 + 0cdot e2

Passo 3

A matriz de mudança de base de B para C, [I]C^B, tem como colunas essas coordenadas de f1 e f2 em relação a C. Logo,
[I]C^B = 0 & 1 1 & 0

Passo 4

Agora vamos achar [I]B^C, a mudança de base de C para B. Para isso expressamos e1 e e2 em termos de f1 e f2. Procuramos escalares a,b tais que
e1 = (1,0) = a,f1 + b,f2 = a,(0,1) + b,(1,0) = (b,a)
Da igualdade (1,0)=(b,a) segue b=1 e a=0, ou seja [e1]B = (0,1). De modo análogo,
e2 = (0,1) = c,f1 + d,f2 = (d,c)
implica d=0, c=1, logo [e2]B=(1,0). Assim
[I]B^C = 0 & 1 1 & 0

Passo 5

Observamos que
,[I]C^B=0&11&0
é uma matriz simétrica. Portanto
l([I]C^Br)^T = [I]C^B = [I]B^C

Resposta

[I]C^B = 0 & 1 1 & 0 , l([I]C^Br)^T = [I]B^C

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