Sejam a base canônica do e a base que resulta quando os vetores de são refletidos em torno da reta . Encontre a matriz de mudança de base de para . Mostre que .
Passo 1
O enunciado nos diz que em temos a base canônica
e uma segunda base
obtida ao refletir cada vetor de em torno da reta . Precisamos achar a matriz de mudança de base de para , isto é ,
e mostrar que .
Para isso usaremos a ideia de que a matriz de mudança de base tem como colunas as coordenadas dos vetores da base de partida (aqui ) escritas na base de chegada (aqui ), e vice-versa.
Passo 2
Como reflexão na reta troca as coordenadas de cada vetor, temos
Ou seja, em coordenadas da base canônica ,
Passo 3
A matriz de mudança de base de para , , tem como colunas essas coordenadas de e em relação a . Logo,
Passo 4
Agora vamos achar [I]B^C, a mudança de base de C para B. Para isso expressamos e1 e e2 em termos de f1 e f2. Procuramos escalares a,b tais que